Номер 90, страница 18 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 90, страница 18.

Условие.

90. К числу 34 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно 45. Сколько решений имеет задача?

Решение.

Решение 2.

Пусть к числу 34 слева приписали цифру $a$, а справа — цифру $b$. В результате получилось четырехзначное число вида $\overline{a34b}$.

Поскольку $a$ является первой цифрой четырехзначного числа, она не может быть нулем, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра $b$, стоящая в конце числа, может быть любой, то есть $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

По условию задачи, число $\overline{a34b}$ должно быть кратно 45. Для того чтобы число было кратно 45, оно должно одновременно делиться на 5 и на 9, так как $45 = 5 \cdot 9$, а числа 5 и 9 взаимно простые.

Воспользуемся признаками делимости:

1. Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5. Отсюда следует, что $b$ может быть либо 0, либо 5.

2. Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа $\overline{a34b}$ равна $S = a + 3 + 4 + b = a + b + 7$.

Теперь рассмотрим два возможных случая, исходя из значений для $b$.

Случай 1: $b = 0$.
В этом случае сумма цифр числа равна $S = a + 0 + 7 = a + 7$. Эта сумма должна быть кратна 9. Так как $a$ — это цифра от 1 до 9, то значение суммы $S$ находится в диапазоне от $1+7=8$ до $9+7=16$. Единственное число в этом интервале, кратное 9, — это само число 9.
Значит, $a + 7 = 9$, откуда $a = 2$.
Таким образом, первое возможное число — 2340.

Случай 2: $b = 5$.
В этом случае сумма цифр числа равна $S = a + 5 + 7 = a + 12$. Эта сумма также должна быть кратна 9. Учитывая возможные значения $a$, сумма $S$ находится в диапазоне от $1+12=13$ до $9+12=21$. Единственное число в этом интервале, кратное 9, — это 18.
Значит, $a + 12 = 18$, откуда $a = 6$.
Таким образом, второе возможное число — 6345.

Мы нашли два числа, удовлетворяющих условию: 2340 и 6345. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.