Номер 91, страница 18 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 91, страница 18.

Условие.

91. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число $\text{*}74\text{*}$ делилось нацело на 18. Найдите все решения.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{A74B}$, где $A$ и $B$ — неизвестные цифры, которые нужно найти. Так как число является четырёхзначным, первая цифра $A$ не может быть нулём, то есть $A \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, а вторая неизвестная цифра $B$ может быть любой от 0 до 9.

Согласно условию, число $\overline{A74B}$ должно делиться нацело на 18. Для этого оно должно одновременно удовлетворять признакам делимости на 2 и на 9, так как $18 = 2 \cdot 9$ и числа 2 и 9 взаимно простые.

1. Признак делимости на 2: Число должно быть чётным, то есть его последняя цифра ($B$) должна быть чётной. Следовательно, возможные значения для $B$: 0, 2, 4, 6, 8.

2. Признак делимости на 9: Сумма всех цифр числа должна делиться на 9. Сумма цифр нашего числа: $S = A + 7 + 4 + B = A + B + 11$.

Теперь последовательно рассмотрим все возможные значения для цифры $B$ и найдём соответствующую цифру $A$.

• Если $B=0$, то сумма цифр $S = A + 0 + 11 = A + 11$. Эта сумма должна быть кратна 9. Учитывая, что $1 \le A \le 9$, получаем $12 \le S \le 20$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18.
  $A + 11 = 18 \Rightarrow A = 7$.
  Получаем число 7740.
• Если $B=2$, то сумма цифр $S = A + 2 + 11 = A + 13$. Учитывая, что $1 \le A \le 9$, получаем $14 \le S \le 22$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18.
  $A + 13 = 18 \Rightarrow A = 5$.
  Получаем число 5742.
• Если $B=4$, то сумма цифр $S = A + 4 + 11 = A + 15$. Учитывая, что $1 \le A \le 9$, получаем $16 \le S \le 24$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18.
  $A + 15 = 18 \Rightarrow A = 3$.
  Получаем число 3744.
• Если $B=6$, то сумма цифр $S = A + 6 + 11 = A + 17$. Учитывая, что $1 \le A \le 9$, получаем $18 \le S \le 26$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18.
  $A + 17 = 18 \Rightarrow A = 1$.
  Получаем число 1746.
• Если $B=8$, то сумма цифр $S = A + 8 + 11 = A + 19$. Учитывая, что $1 \le A \le 9$, получаем $20 \le S \le 28$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 27.
  $A + 19 = 27 \Rightarrow A = 8$.
  Получаем число 8748.

Мы рассмотрели все возможные случаи и нашли все подходящие числа.

Ответ: 1746, 3744, 5742, 7740, 8748.