Номер 898, страница 196 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 31. Числовые множества. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 898, страница 196.

Условие.

898. Существует ли такое значение $a$, при котором между числами $-a$ и $a$ на координатной прямой лежит тысяча целых чисел?

Решение.

Решение 2.

Нам нужно выяснить, существует ли такое значение $a$, при котором количество целых чисел в интервале $(-a, a)$ равно 1000.

Если $a \le 0$, то интервал $(-a, a)$ либо пуст, либо состоит из одной точки 0. В этом случае в нем не может быть 1000 целых чисел. Поэтому будем рассматривать случай, когда $a > 0$.

При $a > 0$ интервал $(-a, a)$ симметричен относительно нуля. Это означает, что для любого целого числа $k$, которое находится в этом интервале, противоположное ему число $-k$ также находится в этом интервале.

Давайте подсчитаем количество целых чисел в таком интервале. Все целые числа в нем можно разделить на три группы: 1. Положительные целые числа. 2. Отрицательные целые числа. 3. Число ноль.

Так как интервал симметричен, количество положительных целых чисел в нем равно количеству отрицательных. Обозначим это количество буквой $N$. Тогда общее количество целых чисел в интервале $(-a, a)$ будет складываться из $N$ положительных чисел, $N$ отрицательных чисел и одного нуля.

Общее количество целых чисел = $N + N + 1 = 2N + 1$.

Выражение $2N + 1$ при любом целом неотрицательном $N$ является нечетным числом. По условию задачи, количество целых чисел должно быть равно 1000. Однако число 1000 — четное.

Поскольку нечетное число не может быть равно четному, не существует такого целого $N$, при котором выполнялось бы равенство $2N + 1 = 1000$. Решение этого уравнения ($2N = 999$, $N = 499.5$) показывает, что $N$ не является целым числом, что противоречит его определению как количества чисел.

Следовательно, не существует такого значения $a$, при котором между числами $-a$ и $a$ лежит ровно 1000 целых чисел.

Ответ: нет, такого значения $a$ не существует.