Номер 922, страница 200 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 32. Модуль числа. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 922, страница 200.

Условие.

922. Верно ли утверждение:

1) если $a = b$, то $|a| = |b|$;

2) если $|a| = |b|$, то $a = b$;

3) если $a = -b$, то $|a| = |b|$;

4) если $a = b$, то $|a| = b$;

5) если $|a| = |b|$, то $a = b$ или $a = -b$;

6) если $a$ – целое число, то $|a|$ – натуральное число?

Решение.

Решение 2.

1) если $a = b$, то $|a| = |b|$;

Это утверждение верно. Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Если два числа $a$ и $b$ равны, то они представляют одну и ту же точку на числовой прямой. Следовательно, их расстояния до нуля также равны. Например, если $a = b = 5$, то $|a| = |5| = 5$ и $|b| = |5| = 5$. Если $a = b = -3$, то $|a| = |-3| = 3$ и $|b| = |-3| = 3$. Во всех случаях $|a| = |b|$.

Ответ: верно.

2) если $|a| = |b|$, то $a = b$;

Это утверждение неверно. Если модули двух чисел равны, это означает, что они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но они не обязательно равны. Они могут быть противоположными числами. Рассмотрим контрпример. Пусть $a = 2$ и $b = -2$. Тогда $|a| = |2| = 2$ и $|b| = |-2| = 2$. Таким образом, условие $|a| = |b|$ выполняется. Однако $a \ne b$, так как $2 \ne -2$.

Ответ: неверно.

3) если $a = -b$, то $|a| = |b|$;

Это утверждение верно. Если число $a$ является противоположным числу $b$, то их модули равны. По свойству модуля, $|-x| = |x|$ для любого числа $x$. Подставив $a = -b$ в левую часть равенства $|a| = |b|$, получим $|-b|$. Так как $|-b| = |b|$, то утверждение $|a| = |b|$ является верным. Например, если $b = 4$, то $a = -4$. Тогда $|a| = |-4| = 4$ и $|b| = |4| = 4$. Равенство выполняется.

Ответ: верно.

4) если $a = b$, то $|a| = b$;

Это утверждение неверно. Оно верно только в том случае, если $a$ и $b$ — неотрицательные числа. Если $a$ и $b$ отрицательны, то утверждение ложно. Рассмотрим контрпример. Пусть $a = -5$. Тогда, согласно условию, $b = -5$. Проверим заключение: $|a| = b$. Левая часть: $|a| = |-5| = 5$. Правая часть: $b = -5$. Получаем $5 = -5$, что является ложным равенством.

Ответ: неверно.

5) если $|a| = |b|$, то $a = b$ или $a = -b$;

Это утверждение верно. Равенство $|a| = |b|$ означает, что точки, соответствующие числам $a$ и $b$ на координатной прямой, равноудалены от начала отсчета (точки 0). Если это расстояние не равно нулю, то существуют ровно два числа с таким модулем: одно положительное и одно отрицательное. Следовательно, числа $a$ и $b$ либо совпадают, либо являются противоположными. Если же модуль равен нулю, то $a=0$ и $b=0$, и в этом случае $a=b$. Таким образом, из $|a| = |b|$ всегда следует, что $a = b$ или $a = -b$.

Ответ: верно.

6) если $a$ – целое число, то $|a|$ – натуральное число?

Это утверждение неверно. Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые при счете: $1, 2, 3, \ldots$. Множество целых чисел включает в себя натуральные числа, противоположные им числа и ноль. Если $a$ — любое целое число, не равное нулю (например, $5$ или $-5$), то его модуль $|a|$ действительно будет натуральным числом ($|5|=5$, $|-5|=5$). Однако, если взять целое число $a=0$, то его модуль $|a| = |0| = 0$. Число $0$ не является натуральным числом. Поскольку мы нашли хотя бы один случай (контрпример), когда условие выполняется, а заключение — нет, всё утверждение считается неверным.

Ответ: неверно.