Номер 978, страница 211 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 34. Сложение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 978, страница 211.

Условие.

978. Найдите значения выражений $|a|+|b|$ и $|a+b|$, если:

1) $a=-3, b=-7$;

2) $a=-4, b=10$;

3) $a=7,2, b=2,8$.

Какими должны быть числа $a$ и $b$, чтобы выполнялось равенство $|a+b|=|a|+|b|$?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи вспомним определение модуля числа. Модуль (абсолютная величина) числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль любого числа является неотрицательной величиной: $|x| \ge 0$.

1) если $a = -3, b = -7$

Найдем значение выражения $|a| + |b|$:

$|a| + |b| = |-3| + |-7| = 3 + 7 = 10$

Найдем значение выражения $|a + b|$:

$|a + b| = |-3 + (-7)| = |-10| = 10$

Ответ: $|a| + |b| = 10$; $|a + b| = 10$.

2) если $a = -4, b = 10$

Найдем значение выражения $|a| + |b|$:

$|a| + |b| = |-4| + |10| = 4 + 10 = 14$

Найдем значение выражения $|a + b|$:

$|a + b| = |-4 + 10| = |6| = 6$

Ответ: $|a| + |b| = 14$; $|a + b| = 6$.

3) если $a = 7,2, b = 2,8$

Найдем значение выражения $|a| + |b|$:

$|a| + |b| = |7,2| + |2,8| = 7,2 + 2,8 = 10$

Найдем значение выражения $|a + b|$:

$|a + b| = |7,2 + 2,8| = |10| = 10$

Ответ: $|a| + |b| = 10$; $|a + b| = 10$.

Какими должны быть числа a и b, чтобы выполнялось равенство $|a + b| = |a| + |b|$?

Проанализируем полученные результаты:

• В пункте 1) оба числа ($a = -3$ и $b = -7$) были отрицательными, и равенство выполнялось.
• В пункте 2) числа ($a = -4$ и $b = 10$) имели разные знаки, и равенство не выполнялось ($6 \ne 14$).
• В пункте 3) оба числа ($a = 7,2$ и $b = 2,8$) были положительными, и равенство выполнялось.

Также проверим случай, когда одно из чисел равно нулю. Например, если $a = 5, b = 0$:

$|a + b| = |5 + 0| = |5| = 5$

$|a| + |b| = |5| + |0| = 5 + 0 = 5$

Равенство выполняется.

Таким образом, равенство $|a + b| = |a| + |b|$ (известное как неравенство треугольника, обращенное в равенство) выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки, или хотя бы одно из них равно нулю. Это можно записать одним условием: $a \cdot b \ge 0$.

Ответ: Равенство выполняется, если числа $a$ и $b$ одного знака (оба неотрицательные или оба неположительные).