Номер 985, страница 212 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 34. Сложение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 985, страница 212.

Условие.

985. Каждый участник шахматного турнира, играя белыми фигурами, выиграл столько партий, сколько все остальные вместе, играя чёрными. Докажите, что все участники одержали одинаковое количество побед.

Решение.

Решение 2.

Обозначим количество участников турнира через $n$. Пронумеруем участников от 1 до $n$.

Пусть $W_i$ — это количество партий, которые $i$-й участник выиграл, играя белыми фигурами.

Пусть $B_i$ — это количество партий, которые $i$-й участник выиграл, играя чёрными фигурами.

Тогда общее количество побед $i$-го участника равно $T_i = W_i + B_i$.

Согласно условию задачи, для любого участника $i$ (где $i$ — любое число от 1 до $n$) количество его побед белыми фигурами ($W_i$) равно сумме побед всех остальных участников чёрными фигурами. Математически это можно записать так:

$W_i = \sum_{j \neq i, j=1}^{n} B_j$

Обозначим общую сумму побед чёрными фигурами во всём турнире как $B_{total}$: $B_{total} = \sum_{j=1}^{n} B_j = B_1 + B_2 + \dots + B_n$

Тогда сумму побед чёрными всех участников, кроме $i$-го, можно выразить через $B_{total}$:

$\sum_{j \neq i, j=1}^{n} B_j = B_{total} - B_i$

Подставим это выражение в исходное условие:

$W_i = B_{total} - B_i$

Теперь перенесём $B_i$ в левую часть уравнения:

$W_i + B_i = B_{total}$

Поскольку $T_i = W_i + B_i$, мы получаем:

$T_i = B_{total}$

Это равенство справедливо для любого участника $i$. Величина $B_{total}$ (общая сумма побед чёрными) является константой для данного турнира и не зависит от конкретного участника $i$. Следовательно, общее количество побед $T_i$ одинаково для всех участников и равно $B_{total}$.

Таким образом, мы доказали, что $T_1 = T_2 = \dots = T_n$, то есть все участники одержали одинаковое количество побед.

Ответ: Утверждение доказано. Общее количество побед каждого участника равно общему количеству побед, одержанных в турнире чёрными фигурами, а так как это число постоянно для всех, то и количество побед у всех участников одинаково.