Номер 980, страница 211 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 34. Сложение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 980, страница 211.

Условие.

980. При каких значениях $x$ верно неравенство:

1) $|x| > x$;

2) $|x| < x$?

Решение.

Решение 2.

1) $|x| > x$

Для решения этого неравенства необходимо рассмотреть два случая, которые следуют из определения модуля числа.

Случай 1: $x \ge 0$.

Если $x$ — неотрицательное число, то его модуль равен самому числу: $|x| = x$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$x > x$

Это неравенство является ложным для любого значения $x$, так как число не может быть строго больше самого себя. Следовательно, для $x \ge 0$ решений нет.

Случай 2: $x < 0$.

Если $x$ — отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу: $|x| = -x$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$-x > x$

Для решения этого неравенства прибавим $x$ к обеим частям:

$0 > x + x$

$0 > 2x$

Разделим обе части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$0 > x$, что эквивалентно $x < 0$.

Полученное решение $x < 0$ полностью соответствует условию, рассматриваемому в этом случае ($x < 0$). Это означает, что все отрицательные числа являются решениями неравенства.

Объединяя результаты двух случаев, мы заключаем, что неравенство $|x| > x$ верно при любых отрицательных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

2) $|x| < x$

Так же, как и в предыдущем пункте, рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$.

Подставляем в неравенство:

$x < x$

Это неравенство ложно для любого $x$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$, имеем $|x| = -x$.

Подставляем в неравенство:

$-x < x$

Прибавим $x$ к обеим частям:

$0 < 2x$

Разделим обе части на 2:

$0 < x$, что эквивалентно $x > 0$.

Полученный результат $x > 0$ противоречит исходному условию для этого случая ($x < 0$). Не существует чисел, которые одновременно больше нуля и меньше нуля. Таким образом, в этом случае решений также нет.

Поскольку ни один из возможных случаев не дает решений, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.