Номер 1131, страница 234 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 32. Вычитание рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1131, страница 234.

Условие.

1131. Решите уравнение:

1) $||x| - 8| = 2;$

2) $||x| + 2| = 7.$

Решение.

Решение 2.

1) Данное уравнение $||x| - 8| = 2$ решается путем последовательного раскрытия модулей. Уравнение вида $|A| = B$, где $B \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.
В нашем случае, $A = |x| - 8$ и $B = 2$. Раскрываем внешний модуль, что приводит к двум возможным случаям:
1. $|x| - 8 = 2$
2. $|x| - 8 = -2$

Рассмотрим каждый случай отдельно:
1. В первом случае имеем уравнение $|x| - 8 = 2$.
Перенесем $-8$ в правую часть уравнения: $|x| = 2 + 8$.
Получаем $|x| = 10$.
Это уравнение имеет два решения: $x = 10$ и $x = -10$.

2. Во втором случае имеем уравнение $|x| - 8 = -2$.
Перенесем $-8$ в правую часть уравнения: $|x| = -2 + 8$.
Получаем $|x| = 6$.
Это уравнение также имеет два решения: $x = 6$ и $x = -6$.

Объединяя все найденные решения, получаем четыре корня исходного уравнения.
Ответ: $\{-10; -6; 6; 10\}$.

2) Рассмотрим уравнение $||x| + 2| = 7$.
Обратим внимание на выражение, стоящее под внешним знаком модуля: $|x| + 2$.
По определению, модуль любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $|x| \ge 0$.
Следовательно, выражение $|x| + 2$ всегда будет положительным, так как $|x| + 2 \ge 0 + 2 = 2$.
Поскольку модуль положительного числа равен самому числу ($|A| = A$, если $A > 0$), мы можем убрать внешний знак модуля.
Таким образом, уравнение упрощается до вида:
$|x| + 2 = 7$

Теперь решим это простое уравнение относительно $|x|$. Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
$|x| = 7 - 2$
$|x| = 5$

Данное уравнение имеет два решения:
$x = 5$ и $x = -5$.

Ответ: $\{-5; 5\}$.