Номер 570, страница 111 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.7. Смешанные дроби произвольного знака. Глава 3. Рациональные числа - номер 570, страница 111.

Условие.

570. а) $1\frac{1}{3} - 3\frac{2}{3}$;

б) $7\frac{2}{5} - \left(-1\frac{1}{5}\right)$;

в) $-6\frac{3}{7} + 1\frac{2}{7}$;

г) $7\frac{2}{9} - 9\frac{8}{9}$;

д) $4\frac{1}{2} - 8\frac{1}{3}$;

е) $6\frac{9}{10} - 12\frac{1}{100}$;

ж) $-4\frac{2}{5} - 1\frac{1}{2}$;

з) $-5\frac{1}{3} - 8\frac{2}{9}$;

и) $-2\frac{1}{5} - 14\frac{1}{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) $1\frac{1}{3} - 3\frac{2}{3}$
Чтобы вычесть смешанные дроби, сначала преобразуем их в неправильные дроби.
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{4}{3} - \frac{11}{3} = \frac{4-11}{3} = -\frac{7}{3}$
Преобразуем результат обратно в смешанную дробь:
$-\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$
Ответ: $-2\frac{1}{3}$

б) $7\frac{2}{5} - (-1\frac{1}{5})$
Вычитание отрицательного числа равносильно сложению.
$7\frac{2}{5} - (-1\frac{1}{5}) = 7\frac{2}{5} + 1\frac{1}{5}$
Сложим целые и дробные части по отдельности, так как у них одинаковый знаменатель:
$(7+1) + (\frac{2}{5} + \frac{1}{5}) = 8 + \frac{3}{5} = 8\frac{3}{5}$
Ответ: $8\frac{3}{5}$

в) $-6\frac{3}{7} + 1\frac{2}{7}$
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и поставить знак числа с большим модулем. Модуль $|-6\frac{3}{7}|$ больше, чем $|1\frac{2}{7}|$, поэтому результат будет отрицательным.
Вычислим разность модулей:
$6\frac{3}{7} - 1\frac{2}{7} = (6-1) + (\frac{3}{7} - \frac{2}{7}) = 5 + \frac{1}{7} = 5\frac{1}{7}$
Поставим знак минус перед результатом: $-5\frac{1}{7}$
Ответ: $-5\frac{1}{7}$

г) $7\frac{2}{9} - 9\frac{8}{9}$
Преобразуем смешанные дроби в неправильные.
$7\frac{2}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{65}{9}$
$9\frac{8}{9} = \frac{9 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{89}{9}$
Выполним вычитание:
$\frac{65}{9} - \frac{89}{9} = \frac{65 - 89}{9} = -\frac{24}{9}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$-\frac{24}{9} = -\frac{8}{3}$
Преобразуем результат в смешанную дробь:
$-\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$
Ответ: $-2\frac{2}{3}$

д) $4\frac{1}{2} - 8\frac{1}{3}$
Для вычитания смешанных дробей с разными знаменателями, сначала приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 - это 6.
$4\frac{1}{2} = 4\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = 4\frac{3}{6}$
$8\frac{1}{3} = 8\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 8\frac{2}{6}$
Теперь преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$4\frac{3}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 3}{6} = \frac{27}{6}$
$8\frac{2}{6} = \frac{8 \cdot 6 + 2}{6} = \frac{50}{6}$
Выполним вычитание:
$\frac{27}{6} - \frac{50}{6} = \frac{27-50}{6} = -\frac{23}{6}$
Преобразуем результат в смешанную дробь:
$-\frac{23}{6} = -3\frac{5}{6}$
Ответ: $-3\frac{5}{6}$

е) $6\frac{9}{10} - 12\frac{1}{100}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 100 - это 100.
$6\frac{9}{10} = 6\frac{9 \cdot 10}{10 \cdot 10} = 6\frac{90}{100}$
Получаем выражение: $6\frac{90}{100} - 12\frac{1}{100}$.
Так как вычитаемое больше уменьшаемого, результат будет отрицательным. Вычислим разность их модулей:
$12\frac{1}{100} - 6\frac{90}{100}$
Дробная часть вычитаемого ($\frac{90}{100}$) больше дробной части уменьшаемого ($\frac{1}{100}$), поэтому "займем" единицу у целой части:
$12\frac{1}{100} = 11 + 1 + \frac{1}{100} = 11 + \frac{100}{100} + \frac{1}{100} = 11\frac{101}{100}$
Теперь выполним вычитание:
$11\frac{101}{100} - 6\frac{90}{100} = (11-6) + (\frac{101-90}{100}) = 5 + \frac{11}{100} = 5\frac{11}{100}$
Так как исходное выражение давало отрицательный результат, ставим знак минус: $-5\frac{11}{100}$
Ответ: $-5\frac{11}{100}$

ж) $-4\frac{2}{5} - 1\frac{1}{2}$
Чтобы вычесть из отрицательного числа положительное, нужно сложить их модули и поставить перед суммой знак минус.
$-4\frac{2}{5} - 1\frac{1}{2} = -(4\frac{2}{5} + 1\frac{1}{2})$
Сначала сложим дроби. Приведем их к общему знаменателю, который равен 10.
$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$; $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$
$4\frac{4}{10} + 1\frac{5}{10} = (4+1) + (\frac{4}{10} + \frac{5}{10}) = 5 + \frac{9}{10} = 5\frac{9}{10}$
Поставим знак минус: $-5\frac{9}{10}$
Ответ: $-5\frac{9}{10}$

з) $-5\frac{1}{3} - 8\frac{2}{9}$
Сложение двух отрицательных чисел. Результат будет отрицательным, а его модуль равен сумме модулей слагаемых.
$-5\frac{1}{3} - 8\frac{2}{9} = -(5\frac{1}{3} + 8\frac{2}{9})$
Приведем дробные части к общему знаменателю 9.
$\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$
$5\frac{3}{9} + 8\frac{2}{9} = (5+8) + (\frac{3}{9} + \frac{2}{9}) = 13 + \frac{5}{9} = 13\frac{5}{9}$
Поставим знак минус: $-13\frac{5}{9}$
Ответ: $-13\frac{5}{9}$

и) $-2\frac{1}{5} - 14\frac{1}{10}$
Складываем модули чисел и ставим знак минус.
$-2\frac{1}{5} - 14\frac{1}{10} = -(2\frac{1}{5} + 14\frac{1}{10})$
Приведем дробные части к общему знаменателю 10.
$\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$
$2\frac{2}{10} + 14\frac{1}{10} = (2+14) + (\frac{2}{10} + \frac{1}{10}) = 16 + \frac{3}{10} = 16\frac{3}{10}$
Поставим знак минус: $-16\frac{3}{10}$
Ответ: $-16\frac{3}{10}$