Номер 180, страница 47, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями - номер 180, страница 47.

Условие 2023.

180 Найди значения дробей:

a) $\frac{2,7}{3,6};$

б) $\frac{5 \frac{1}{7}}{3 \frac{3}{14}};$

в) $\frac{7,2 \cdot 2,8}{3,5 \cdot 0,64};$

г) $\frac{1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{3}{11} \cdot 3\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \cdot 4\frac{1}{6} \cdot 3\frac{9}{11}};$

д) $\frac{5,6 \cdot 3\frac{1}{3} \cdot 0,63}{4,9 \cdot 0,018 \cdot 5\frac{1}{3}};$

е) $\frac{1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 0,36}{0,6 \cdot 2 \cdot 1\frac{1}{3}};$

ж) $\frac{0,27 \cdot 1\frac{5}{7} \cdot 4,8 \cdot 0,3}{0,032 \cdot 0,54 \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 1,8};$

з) $\frac{0,38 \cdot 0,17 \cdot 2\frac{2}{15} \cdot 2,7}{5,1 \cdot 3\frac{4}{5} \cdot 0,064}.$

Решение 2 (2023).

а)

Чтобы найти значение дроби, умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков, а затем сократим полученную дробь:
$\frac{2,7}{3,6} = \frac{2,7 \cdot 10}{3,6 \cdot 10} = \frac{27}{36}$
Наибольший общий делитель для 27 и 36 это 9. Сокращаем дробь на 9:
$\frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$ (или $0,75$)

б)

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{36}{7}$
$3\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{42 + 3}{14} = \frac{45}{14}$
Теперь разделим полученные дроби. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{\frac{36}{7}}{\frac{45}{14}} = \frac{36}{7} \div \frac{45}{14} = \frac{36}{7} \cdot \frac{14}{45}$
Сократим дробь перед умножением: $36 = 4 \cdot 9$, $45 = 5 \cdot 9$, $14 = 2 \cdot 7$.
$\frac{36}{7} \cdot \frac{14}{45} = \frac{4 \cdot 9}{7} \cdot \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 9} = \frac{4 \cdot \cancel{9}}{\cancel{7}} \cdot \frac{2 \cdot \cancel{7}}{5 \cdot \cancel{9}} = \frac{4 \cdot 2}{5} = \frac{8}{5}$
Переведем в смешанную дробь: $\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$.
Ответ: $1\frac{3}{5}$

в)

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на 1000, чтобы избавиться от всех десятичных знаков:
$\frac{7,2 \cdot 2,8}{3,5 \cdot 0,64} = \frac{(7,2 \cdot 10) \cdot (2,8 \cdot 100)}{(3,5 \cdot 10) \cdot (0,64 \cdot 100)} = \frac{72 \cdot 280}{35 \cdot 64}$
Теперь сократим полученные числа, разделив выражение на две дроби:
$\frac{72}{64} = \frac{9 \cdot 8}{8 \cdot 8} = \frac{9}{8}$
$\frac{280}{35} = \frac{28 \cdot 10}{35} = \frac{4 \cdot 7 \cdot 10}{5 \cdot 7} = \frac{40}{5} = 8$
Перемножим полученные результаты:
$\frac{9}{8} \cdot 8 = 9$
Ответ: $9$

г)

Преобразуем все смешанные дроби в неправильные:
В числителе: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, $2\frac{3}{11} = \frac{25}{11}$, $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
В знаменателе: $4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$, $3\frac{9}{11} = \frac{42}{11}$.
Подставим в исходное выражение:
$\frac{\frac{4}{3} \cdot \frac{25}{11} \cdot \frac{7}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{6} \cdot \frac{42}{11}} = \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{25}{11} \cdot \frac{7}{2}\right) \div \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{6} \cdot \frac{42}{11}\right) = \frac{4 \cdot 25 \cdot 7}{3 \cdot 11 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 6 \cdot 11}{1 \cdot 25 \cdot 42}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (25, 11, 2):
$\frac{4 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 42} = \frac{4 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 6 \cdot 7}$
Сократим еще раз (6, 7):
$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: $1\frac{1}{3}$

д)

Сгруппируем множители для удобства сокращения:
$\frac{5,6 \cdot 3\frac{1}{3} \cdot 0,63}{4,9 \cdot 0,018 \cdot 5\frac{1}{3}} = \frac{5,6}{4,9} \cdot \frac{3\frac{1}{3}}{5\frac{1}{3}} \cdot \frac{0,63}{0,018}$
Вычислим значение каждой группы:
$\frac{5,6}{4,9} = \frac{56}{49} = \frac{8 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{8}{7}$
$\frac{3\frac{1}{3}}{5\frac{1}{3}} = \frac{\frac{10}{3}}{\frac{16}{3}} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$
$\frac{0,63}{0,018} = \frac{630}{18} = 35$
Теперь перемножим полученные значения:
$\frac{8}{7} \cdot \frac{5}{8} \cdot 35 = \frac{5}{7} \cdot 35 = 5 \cdot 5 = 25$
Ответ: $25$

е)

В числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $1\frac{1}{3}$, который можно сократить:
$\frac{1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 0,36}{0,6 \cdot 2 \cdot 1\frac{1}{3}} = \frac{2\frac{2}{3} \cdot 0,36}{0,6 \cdot 2}$
Упростим выражение:
$\frac{0,36}{0,6} = \frac{3,6}{6} = 0,6$.
$\frac{2\frac{2}{3} \cdot 0,6}{2} = \frac{\frac{8}{3} \cdot \frac{6}{10}}{2} = \frac{\frac{8 \cdot 2}{10}}{2} = \frac{\frac{16}{10}}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8$.
Другой способ:
$\frac{2\frac{2}{3} \cdot 0,36}{0,6 \cdot 2} = \frac{\frac{8}{3} \cdot \frac{36}{100}}{\frac{6}{10} \cdot 2} = \frac{\frac{8 \cdot 12}{100}}{\frac{12}{10}} = \frac{96}{100} \cdot \frac{10}{12} = \frac{8 \cdot 12}{100} \cdot \frac{10}{12} = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$ (или $0,8$)

ж)

Сгруппируем множители для удобства сокращения:
$\frac{0,27 \cdot 1\frac{5}{7} \cdot 4,8 \cdot 0,3}{0,032 \cdot 0,54 \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 1,8} = \frac{0,27}{0,54} \cdot \frac{1\frac{5}{7}}{3\frac{4}{7}} \cdot \frac{4,8}{1,8} \cdot \frac{0,3}{0,032}$
Вычислим значение каждой группы:
$\frac{0,27}{0,54} = \frac{1}{2}$
$\frac{1\frac{5}{7}}{3\frac{4}{7}} = \frac{\frac{12}{7}}{\frac{25}{7}} = \frac{12}{25}$
$\frac{4,8}{1,8} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$
$\frac{0,3}{0,032} = \frac{300}{32} = \frac{75}{8}$
Теперь перемножим полученные значения:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{75}{8} = \frac{1 \cdot 12 \cdot 8 \cdot 75}{2 \cdot 25 \cdot 3 \cdot 8}$
Сократим множители:
$\frac{12 \cdot 75}{2 \cdot 25 \cdot 3} = \frac{12 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{12}{2} = 6$
Ответ: $6$

з)

Сгруппируем множители для удобства сокращения:
$\frac{0,38 \cdot 0,17 \cdot 2\frac{2}{15} \cdot 2,7}{5,1 \cdot 3\frac{4}{5} \cdot 0,064} = \frac{0,38}{3\frac{4}{5}} \cdot \frac{0,17}{5,1} \cdot \frac{2\frac{2}{15}}{0,064} \cdot 2,7$
Вычислим значение каждой группы:
$\frac{0,38}{3\frac{4}{5}} = \frac{0,38}{3,8} = \frac{1}{10}$
$\frac{0,17}{5,1} = \frac{17}{510} = \frac{1}{30}$
$\frac{2\frac{2}{15}}{0,064} = \frac{\frac{32}{15}}{\frac{64}{1000}} = \frac{32}{15} \cdot \frac{1000}{64} = \frac{1000}{15 \cdot 2} = \frac{1000}{30} = \frac{100}{3}$
Теперь перемножим полученные значения и оставшийся множитель $2,7$:
$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{30} \cdot \frac{100}{3} \cdot 2,7 = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{30} \cdot \frac{100}{3} \cdot \frac{27}{10}$
$\frac{100 \cdot 27}{10 \cdot 30 \cdot 3 \cdot 10} = \frac{2700}{9000} = \frac{27}{90} = \frac{3 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{3}{10}$
Ответ: $\frac{3}{10}$ (или $0,3$)

Условие 2010-2022.

180 Найди значения дробей:

a) $ \frac{2,7}{3,6} $;

в) $ \frac{7,2 \cdot 2,8}{3,5 \cdot 0,64} $;

д) $ \frac{5,6 \cdot 3\frac{1}{3} \cdot 0,63}{4,9 \cdot 0,018 \cdot 5\frac{1}{3}} $;

ж) $ \frac{0,27 \cdot 1\frac{5}{7} \cdot 4,8 \cdot 0,3}{0,032 \cdot 0,54 \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 1,8} $;

б) $ \frac{5\frac{1}{7}}{3\frac{3}{14}} $;

г) $ \frac{1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{3}{11} \cdot 3\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \cdot 4\frac{1}{6} \cdot 3\frac{9}{11}} $;

е) $ \frac{1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 0,36}{0,6 \cdot 2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{3}} $;

з) $ \frac{0,38 \cdot 0,17 \cdot 2\frac{2}{15} \cdot 2,7}{5,1 \cdot 3\frac{4}{5} \cdot 0,064} $.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).