Номер 201, страница 52, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями - номер 201, страница 52.

Условие 2023.

201 Чем похожи и чем отличаются задачи? Реши их и сопоставь решения.

1) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 24 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80 % скорости второго. С какой скоростью они ехали?

2) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 264 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80 % скорости второго. С какой скоростью они ехали?

3) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Через $1\frac{2}{3}$ ч расстояние между ними стало равно 564 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80 % скорости второго. С какой скоростью они ехали?

4) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 324 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80 % скорости второго. С какой скоростью они ехали?

Решение 2 (2023).

Все четыре задачи похожи тем, что в них используются одинаковые исходные данные: начальное расстояние между городами ($S_0 = 294$ км), время движения ($t = 1$ ч $40$ мин $= 1\frac{2}{3}$ ч) и соотношение скоростей мотоциклистов (скорость первого, $v_1$, составляет 80% от скорости второго, $v_2$, то есть $v_1 = 0.8 \cdot v_2$).

Отличаются задачи направлением движения мотоциклистов и, как следствие, конечным расстоянием между ними. Это приводит к разным типам задач: на сближение и на удаление.

1)

Пусть $v_1$ — скорость первого мотоциклиста, а $v_2$ — скорость второго. По условию $v_1 = 0.8 \cdot v_2$.
Время движения $t = 1$ ч $40$ мин $= 1 + \frac{40}{60}$ ч $= 1\frac{2}{3}$ ч $= \frac{5}{3}$ ч.
Мотоциклисты едут навстречу друг другу, значит, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.
За время $t$ они вместе проехали расстояние $S_{пройд} = S_0 - S_{кон} = 294 - 24 = 270$ км.
Расстояние равно скорости, умноженной на время: $S_{пройд} = v_{сбл} \cdot t$.
Подставим значения: $(v_1 + v_2) \cdot \frac{5}{3} = 270$.
Отсюда найдем сумму скоростей: $v_1 + v_2 = 270 \cdot \frac{3}{5} = 162$ км/ч.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 162 \\ v_1 = 0.8 \cdot v_2 \end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое: $0.8 \cdot v_2 + v_2 = 162 \Rightarrow 1.8 \cdot v_2 = 162 \Rightarrow v_2 = \frac{162}{1.8} = 90$ км/ч.
Тогда $v_1 = 0.8 \cdot 90 = 72$ км/ч.
Ответ: скорость первого мотоциклиста 72 км/ч, второго — 90 км/ч.

2)

Исходные данные те же: $v_1 = 0.8 \cdot v_2$, $t = \frac{5}{3}$ ч, начальное расстояние $S_0 = 294$ км.
Мотоциклисты едут в одном направлении. Так как расстояние между ними уменьшилось (с 294 км до 264 км), значит, более быстрый мотоциклист ($v_2$) догоняет более медленного ($v_1$).
Скорость сближения в этом случае равна разности скоростей: $v_{сбл} = v_2 - v_1$.
Расстояние, на которое они сблизились: $S_{сбл} = S_0 - S_{кон} = 294 - 264 = 30$ км.
$S_{сбл} = v_{сбл} \cdot t \Rightarrow (v_2 - v_1) \cdot \frac{5}{3} = 30$.
Отсюда разность скоростей: $v_2 - v_1 = 30 \cdot \frac{3}{5} = 18$ км/ч.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} v_2 - v_1 = 18 \\ v_1 = 0.8 \cdot v_2 \end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое: $v_2 - 0.8 \cdot v_2 = 18 \Rightarrow 0.2 \cdot v_2 = 18 \Rightarrow v_2 = \frac{18}{0.2} = 90$ км/ч.
Тогда $v_1 = 0.8 \cdot 90 = 72$ км/ч.
Ответ: скорость первого мотоциклиста 72 км/ч, второго — 90 км/ч.

3)

Время движения $t = 1\frac{2}{3}$ ч $= \frac{5}{3}$ ч. Соотношение скоростей $v_1 = 0.8 \cdot v_2$.
Мотоциклисты едут в противоположных направлениях, значит, они удаляются друг от друга. Скорость удаления равна сумме их скоростей: $v_{уд} = v_1 + v_2$.
За время $t$ расстояние между ними увеличилось на величину $S_{ув} = S_{кон} - S_0 = 564 - 294 = 270$ км.
$S_{ув} = v_{уд} \cdot t \Rightarrow (v_1 + v_2) \cdot \frac{5}{3} = 270$.
Отсюда сумма скоростей: $v_1 + v_2 = 270 \cdot \frac{3}{5} = 162$ км/ч.
Получаем ту же систему уравнений, что и в первой задаче:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 162 \\ v_1 = 0.8 \cdot v_2 \end{cases}$
Решение идентично: $v_2 = 90$ км/ч и $v_1 = 72$ км/ч.
Ответ: скорость первого мотоциклиста 72 км/ч, второго — 90 км/ч.

4)

Время движения $t = 1$ ч $40$ мин $= \frac{5}{3}$ ч. Соотношение скоростей $v_1 = 0.8 \cdot v_2$.
Мотоциклисты едут в одном направлении. Так как расстояние между ними увеличилось (с 294 км до 324 км), значит, более быстрый мотоциклист ($v_2$) едет впереди и удаляется от более медленного ($v_1$).
Скорость удаления в этом случае равна разности скоростей: $v_{уд} = v_2 - v_1$.
Расстояние, на которое они удалились друг от друга: $S_{уд} = S_{кон} - S_0 = 324 - 294 = 30$ км.
$S_{уд} = v_{уд} \cdot t \Rightarrow (v_2 - v_1) \cdot \frac{5}{3} = 30$.
Отсюда разность скоростей: $v_2 - v_1 = 30 \cdot \frac{3}{5} = 18$ км/ч.
Получаем ту же систему уравнений, что и во второй задаче:
$\begin{cases} v_2 - v_1 = 18 \\ v_1 = 0.8 \cdot v_2 \end{cases}$
Решение идентично: $v_2 = 90$ км/ч и $v_1 = 72$ км/ч.
Ответ: скорость первого мотоциклиста 72 км/ч, второго — 90 км/ч.

Сопоставление решений:
Несмотря на разные сценарии движения, ответ во всех четырех задачах одинаковый. Это связано с тем, что задачи попарно сводятся к одним и тем же математическим моделям.

• Задачи 1 (встречное движение) и 3 (движение в противоположных направлениях) описывают ситуации, где относительная скорость равна сумме скоростей ($v_1+v_2$). В обоих случаях изменение расстояния за одно и то же время составило 270 км, что привело к уравнению $v_1 + v_2 = 162$.
• Задачи 2 (погоня) и 4 (удаление в одном направлении) описывают ситуации, где относительная скорость равна разности скоростей ($v_2-v_1$). В обоих случаях изменение расстояния за то же время составило 30 км, что привело к уравнению $v_2 - v_1 = 18$.

Таким образом, хотя физический смысл процессов различен, они приводят к двум парам идентичных систем уравнений и, как следствие, к одному и тому же ответу.

Условие 2010-2022.

201 Чем похожи и чем отличаются задачи? Реши их и сопоставь решения.

1) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 24 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали?

2) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 264 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали?

3) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Через $1\frac{2}{3}$ ч расстояние между ними стало равно 564 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали?

4) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 324 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).