Номер 198, страница 51, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями - номер 198, страница 51.

Условие 2023.

198 1) Из двух сёл одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них 19,5 км/ч, а скорость второго составляет $\frac{2}{3}$ скорости первого. Чему равно расстояние между сёлами, если велосипедисты встретились через 48 мин? На каком расстоянии друг от друга они были через 0,5 ч после выезда? Через полтора часа?

2) Города А и В расположены на одном шоссе. Из этих городов одновременно в одном направлении выехали два автобуса. Первый автобус двигался со скоростью 54 км/ч, что составляет 60 % скорости второго автобуса. Второй автобус догнал первый через 1 ч 30 мин после выезда. Чему равно расстояние между городами А и В? На каком расстоянии друг от друга были автобусы через 24 мин после выезда? Через 2 ч после выезда?

Решение 2 (2023).

1)

Сначала найдём скорость второго велосипедиста. Она составляет $\frac{2}{3}$ от скорости первого:
$v_2 = 19,5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{195}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{39}{2} \cdot \frac{2}{3} = 13$ км/ч.

Поскольку велосипедисты движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 19,5 + 13 = 32,5$ км/ч.

Время до встречи составляет 48 минут. Переведём это время в часы:
$t_{встр} = 48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0,8$ ч.

Чему равно расстояние между сёлами, если велосипедисты встретились через 48 мин?
Расстояние между сёлами равно скорости сближения, умноженной на время до встречи:
$S = v_{сбл} \cdot t_{встр} = 32,5 \cdot 0,8 = 26$ км.
Ответ: 26 км.

На каком расстоянии друг от друга они были через 0,5 ч после выезда?
За 0,5 часа велосипедисты приблизились друг к другу на расстояние:
$S_{сбл} = v_{сбл} \cdot 0,5 = 32,5 \cdot 0,5 = 16,25$ км.
Чтобы найти, какое расстояние между ними осталось, нужно из общего расстояния вычесть то, на которое они сблизились:
$S_{ост} = S - S_{сбл} = 26 - 16,25 = 9,75$ км.
Ответ: 9,75 км.

Через полтора часа?
Полтора часа — это 1,5 часа. Это больше, чем время до встречи (0,8 ч), значит, велосипедисты уже встретились и разъехались. Чтобы найти расстояние между ними, нужно узнать, сколько времени они ехали после встречи:
$t_{после} = 1,5 - 0,8 = 0,7$ ч.
За это время они удалились друг от друга на расстояние (скорость удаления равна скорости сближения):
$S_{удал} = v_{сбл} \cdot t_{после} = 32,5 \cdot 0,7 = 22,75$ км.
Ответ: 22,75 км.

2)

Сначала найдём скорость второго автобуса. Скорость первого автобуса (54 км/ч) составляет 60% (или 0,6) от скорости второго.
$v_1 = 54$ км/ч.
Поскольку второй автобус догнал первый, значит, он ехал сзади и его скорость ($v_2$) была выше.
$v_1 = 0,6 \cdot v_2$
$v_2 = \frac{v_1}{0,6} = \frac{54}{0,6} = 90$ км/ч.

Автобусы движутся в одном направлении, поэтому скорость сближения равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 90 - 54 = 36$ км/ч.

Время, через которое второй автобус догнал первый, составляет 1 ч 30 мин. Переведём это время в часы:
$t_{встр} = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1,5$ ч.

Чему равно расстояние между городами А и В?
Изначальное расстояние между автобусами (и городами) равно скорости сближения, умноженной на время, за которое второй догнал первого:
$S = v_{сбл} \cdot t_{встр} = 36 \cdot 1,5 = 54$ км.
Ответ: 54 км.

На каком расстоянии друг от друга были автобусы через 24 мин после выезда?
Переведём 24 минуты в часы:
$t_1 = 24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = 0,4$ ч.
За это время расстояние между автобусами сократилось на:
$S_{сокр} = v_{сбл} \cdot t_1 = 36 \cdot 0,4 = 14,4$ км.
Чтобы найти оставшееся расстояние, вычтем из начального расстояния то, на которое они сблизились:
$S_{ост} = S - S_{сокр} = 54 - 14,4 = 39,6$ км.
Ответ: 39,6 км.

Через 2 ч после выезда?
Время 2 часа больше времени, через которое автобусы встретились (1,5 ч). Это значит, что второй автобус уже обогнал первый. Найдём, сколько времени прошло с момента их встречи:
$t_{после} = 2 - 1,5 = 0,5$ ч.
За это время второй автобус удалился от первого на расстояние (скорость удаления равна скорости сближения):
$S_{удал} = v_{сбл} \cdot t_{после} = 36 \cdot 0,5 = 18$ км.
Ответ: 18 км.

Условие 2010-2022.

198 1) Из двух сел одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них 19,5 км/ч, а скорость второго составляет $\frac{2}{3}$ скорости первого. Чему равно расстояние между селами, если велосипедисты встретились через 48 мин? На каком расстоянии друг от друга они были через 0,5 ч после выезда? Через полтора часа?

2) Города $A$ и $B$ расположены на одном шоссе. Из этих городов одновременно в одном направлении выехали два автобуса. Первый автобус двигался со скоростью 54 км/ч, что составляет 60% скорости второго автобуса. Второй автобус догнал первый через 1 ч 30 мин после выезда. Чему равно расстояние между городами $A$ и $B$? На каком расстоянии друг от друга были автобусы через 24 мин после выезда? Через 2 ч после выезда?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).