Номер 203, страница 52, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями - номер 203, страница 52.

Условие 2023.

203 1) Первый насос может выкачать воду из котлована за 36 ч, а второй — за 48 ч. Сначала в течение 12 ч работал один первый насос, после чего работу закончил второй. За сколько времени была выкачана вся вода?

2) Двум операторам было поручено набрать на компьютере рукопись. Работая вместе, они могут выполнить весь заказ за 2,4 ч. Однако вместе операторы проработали лишь 2 ч, после чего работу заканчивал один из них. За сколько времени был выполнен заказ, если оператор, ушедший раньше, работая один, может выполнить его полностью за 4 ч?

Решение 2 (2023).

1) Примем весь объем воды в котловане за 1.
Производительность (скорость выкачивания) первого насоса составляет $P_1 = \frac{1}{36}$ часть котлована в час.
Производительность второго насоса составляет $P_2 = \frac{1}{48}$ часть котлована в час.
За 12 часов работы первый насос выкачал часть воды, равную:
$W_1 = P_1 \times t_1 = \frac{1}{36} \times 12 = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$
После этого в котловане осталась часть воды, равная:
$W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Эту оставшуюся часть выкачал второй насос. Найдем время, которое ему для этого потребовалось:
$t_2 = \frac{W_{ост}}{P_2} = \frac{2/3}{1/48} = \frac{2}{3} \times 48 = 2 \times 16 = 32$ часа.
Общее время, затраченное на выкачивание всей воды, равно сумме времени работы первого насоса и времени работы второго насоса:
$T_{общ} = t_1 + t_2 = 12 \text{ ч} + 32 \text{ ч} = 44$ часа.
Ответ: 44 часа.

2) Примем весь объем заказа за 1.
Пусть $v_A$ – производительность оператора, который ушел раньше, а $v_B$ – производительность оператора, который остался.
Из условия известно, что оператор, ушедший раньше, мог выполнить весь заказ за 4 часа, значит, его производительность $v_A = \frac{1}{4}$ заказа в час.
Работая вместе, они выполняют заказ за 2,4 часа. Их совместная производительность:
$v_{общ} = v_A + v_B = \frac{1}{2,4} = \frac{1}{24/10} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ заказа в час.
Теперь мы можем найти производительность второго оператора (который остался):
$v_B = v_{общ} - v_A = \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ заказа в час.
Операторы проработали вместе 2 часа. За это время они выполнили часть работы:
$W_{вместе} = v_{общ} \times t_{вместе} = \frac{5}{12} \times 2 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ заказа.
Оставшаяся часть работы:
$W_{ост} = 1 - W_{вместе} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ заказа.
Эту часть работы заканчивал второй оператор в одиночку. Время, которое ему для этого понадобилось:
$t_B = \frac{W_{ост}}{v_B} = \frac{1/6}{1/6} = 1$ час.
Общее время выполнения заказа равно времени совместной работы плюс время, которое второй оператор работал один:
$T_{общ} = t_{вместе} + t_B = 2 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 3$ часа.
Ответ: 3 часа.

Условие 2010-2022.

203 1) Первый насос может выкачать воду из котлована за 36 ч, а второй – за 48 ч. Сначала в течение 12 ч работал один первый насос, после чего работу закончил второй. За сколько времени была выкачана вся вода?

2) Двум операторам было поручено набрать на компьютере рукопись. Работая вместе, они могут выполнить весь заказ за 2,4 ч. Однако вместе операторы проработали лишь 2 ч, после чего работу заканчивал один из них. За сколько времени был выполнен заказ, если оператор, ушедший раньше, работая один, может выполнить его полностью за 4 ч?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).