Номер 398, страница 93, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Задачи на проценты. Параграф 2. Проценты. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 398, страница 93.

Условие 2023.

398 Объясни, почему доказательство проведено неверно. Для ложных утверждений приведи контрпример, а верные – докажи правильно.

1) Сумма двух простых чисел – простое число: например, $2$ – простое, $3$ – простое, и их сумма $2 + 3 = 5$ – тоже простое.

2) Произведение трёх последовательных натуральных чисел кратно $6$: например, при перемножении чисел $8, 9$ и $10$ получается число $720$, кратное $6$.

3) Если при делении на $5$ одно число даёт в остатке $2$, а другое $-3$, то их сумма кратна $5$: например, числа $12$ и $13$ дают при делении на $5$ остатки, соответственно, $2$ и $3$, а их сумма $12 + 13 = 25$ делится на $5$.

4) Сумма двух взаимно простых чисел – число простое: например, числа $9$ и $14$ – взаимно простые, и их сумма $9 + 14 = 23$ – число простое.

Решение 2 (2023).

Общая ошибка во всех приведённых "доказательствах" заключается в том, что один частный пример, даже если он подтверждает утверждение, не может служить доказательством общего правила. Математическое утверждение, претендующее на общность, должно быть доказано для всех возможных случаев, а не для одного выбранного. Для опровержения общего утверждения, напротив, достаточно одного контрпримера.

1) Сумма двух простых чисел – простое число
Приведённое "доказательство" неверно, так как оно основано на единственном примере ($2+3=5$), который подтверждает утверждение. Однако это не доказывает, что утверждение верно для любых двух простых чисел.
Данное утверждение является ложным.
Контрпример: Возьмём простые числа 3 и 7. Их сумма $3 + 7 = 10$. Число 10 является составным, так как оно делится на 2 и 5. Другой контрпример: сумма любых двух простых чисел, больших 2, будет чётным числом, большим 2, а следовательно, составным. Например, $5 + 11 = 16$.
Ответ: Утверждение ложно. Доказательство неверно, так как один пример не является доказательством. Контрпример: $3 + 7 = 10$, где 10 – составное число.

2) Произведение трёх последовательных натуральных чисел кратно 6
Приведённое "доказательство" неверно, так как оно основано на единственном примере ($8 \cdot 9 \cdot 10 = 720$), который не доказывает общее правило. Однако само утверждение является верным.
Правильное доказательство:
Рассмотрим произведение трёх последовательных натуральных чисел: $n(n+1)(n+2)$.
Чтобы число было кратно 6, оно должно быть кратно 2 и 3 одновременно (поскольку 2 и 3 – взаимно простые числа).
1. Кратность 2: Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно чётное. В нашей последовательности $n, n+1, n+2$ есть как минимум одно чётное число. Следовательно, их произведение всегда делится на 2.
2. Кратность 3: Среди любых трёх последовательных чисел одно обязательно делится на 3.

• Если $n$ кратно 3, то произведение кратно 3.
• Если $n$ даёт остаток 1 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+1$), то $n+2 = 3k+1+2 = 3k+3 = 3(k+1)$ кратно 3.
• Если $n$ даёт остаток 2 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+2$), то $n+1 = 3k+2+1 = 3k+3 = 3(k+1)$ кратно 3.

Таким образом, в любом случае один из множителей делится на 3, а значит и всё произведение делится на 3.
Поскольку произведение делится и на 2, и на 3, оно делится на $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: Утверждение верно. Приведённый пример не является доказательством. Правильное доказательство основано на свойствах делимости последовательных чисел.

3) Если при делении на 5 одно число даёт в остатке 2, а другое – 3, то их сумма кратна 5
Приведённое "доказательство" неверно, так как оно основано на единственном примере ($12+13=25$). Однако само утверждение является верным.
Правильное доказательство:
Пусть число $a$ при делении на 5 даёт в остатке 2. Это можно записать как $a = 5k + 2$ для некоторого целого $k$.
Пусть число $b$ при делении на 5 даёт в остатке 3. Это можно записать как $b = 5m + 3$ для некоторого целого $m$.
Тогда их сумма равна:
$a + b = (5k + 2) + (5m + 3) = 5k + 5m + 5 = 5(k + m + 1)$.
Полученное выражение представляет собой произведение числа 5 на целое число $(k + m + 1)$, следовательно, сумма $a+b$ всегда делится на 5.
Ответ: Утверждение верно. Приведённый пример не является доказательством. Правильное доказательство использует алгебраическое представление чисел с остатком.

4) Сумма двух взаимно простых чисел – число простое
Приведённое "доказательство" неверно, так как оно основано на единственном примере ($9+14=23$). Данное утверждение является ложным.
Контрпример: Возьмём числа 4 и 5. Они являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1 (НОД(4,5)=1). Их сумма $4 + 5 = 9$. Число 9 является составным, так как делится на 3.
Другой контрпример: числа 8 и 15. НОД(8,15)=1. Их сумма $8 + 15 = 23$ (простое). А вот числа 8 и 9 взаимно простые, но их сумма $8 + 9 = 17$ (простое). Ещё один контрпример: 15 и 16 взаимно простые, но $15+16=31$ (простое). Контрпример: 2 и 7 взаимно просты, $2+7=9$ (составное).
Ответ: Утверждение ложно. Доказательство неверно, так как один пример не является доказательством. Контрпример: числа 4 и 5 взаимно просты, но их сумма 9 – составное число.

Условие 2010-2022.

398 Объясни, почему доказательство проведено неверно. Для ложных утверждений приведи контрпример, а верные – докажи правильно.

1) Сумма двух простых чисел – простое число: например, 2 – простое, 3 – простое, и их сумма $2 + 3 = 5$ – тоже простое.

2) Произведение трех последовательных натуральных чисел кратно 6: например, при перемножении чисел 8, 9 и 10 получается число 720, кратное 6.

3) Если при делении на 5 одно число дает в остатке 2, а другое – 3, то их сумма кратна 5: например, числа 12 и 13 дают при делении на 5 остатки, соответственно, 2 и 3, а их сумма $12 + 13 = 25$ делится на 5.

4) Сумма двух взаимно простых чисел – число простое: например, числа 9 и 14 взаимно просты, и их сумма $9 + 14 = 23$ – число простое.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).