Номер 399, страница 93, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Задачи на проценты. Параграф 2. Проценты. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 399, страница 93.

Условие 2023.

399 Переведи высказывание с математического языка на русский и докажи его:

1) $\exists a, b \in N: a^2 - 3b = 6;$

2) $\exists x, y \in N: x \ne y \text{ и } x^y = y^x;$

3) $\forall a, b, n \in N: (an) : (bn) = a : b;$

4) $\forall n \in N: [(2n + 1) + (2n + 3)] \text{ – кратно } 4.$

Решение 2 (2023).

1) $ \exists a, b \in N: a^2 - 3b = 6 $

Перевод на русский язык: Существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, что разность квадрата числа $a$ и утроенного числа $b$ равна 6.

Доказательство: Данное высказывание является утверждением о существовании. Чтобы его доказать, достаточно найти хотя бы одну пару натуральных чисел $a$ и $b$, которая удовлетворяет данному равенству.

Преобразуем уравнение: $a^2 = 6 + 3b$, или $a^2 = 3(2+b)$.

Из этого следует, что $a^2$ должно быть кратно 3. Если квадрат числа кратен 3, то и само число кратно 3. Попробуем подставить натуральные значения для $a$, кратные 3.

Пусть $a = 3$. Тогда $a^2 = 9$.

Подставим это значение в исходное уравнение: $9 - 3b = 6$.

$3b = 9 - 6$

$3b = 3$

$b = 1$

Мы нашли пару чисел $a=3$ и $b=1$. Оба числа являются натуральными. Следовательно, утверждение истинно.

Ответ: Высказывание верно, например, при $a=3$ и $b=1$.

2) $ \exists x, y \in N: x \neq y \text{ и } x^y = y^x $

Перевод на русский язык: Существуют такие различные натуральные числа $x$ и $y$, что $x$, возведенное в степень $y$, равно $y$, возведенному в степень $x$.

Доказательство: Это также утверждение о существовании. Необходимо найти хотя бы одну пару различных натуральных чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих равенству.

Рассмотрим пару чисел $x = 2$ и $y = 4$. Они натуральные и не равны друг другу ($2 \neq 4$).

Проверим равенство:

Левая часть: $x^y = 2^4 = 16$.

Правая часть: $y^x = 4^2 = 16$.

Так как $16 = 16$, равенство выполняется. Мы нашли такую пару чисел.

Ответ: Высказывание верно, например, при $x=2$ и $y=4$.

3) $ \forall a, b, n \in N: (an) : (bn) = a : b $

Перевод на русский язык: Для любых натуральных чисел $a, b$ и $n$ отношение произведения $a$ на $n$ к произведению $b$ на $n$ равно отношению числа $a$ к числу $b$.

Доказательство: Данное высказывание является утверждением общности, поэтому оно должно быть верным для любых натуральных $a, b, n$.

Запишем левую часть равенства в виде дроби:

$(an) : (bn) = \frac{an}{bn}$

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \neq 0$. Согласно основному свойству дроби, мы можем сократить дробь на общий множитель $n$ в числителе и знаменателе:

$\frac{an}{bn} = \frac{a}{b}$

Выражение $\frac{a}{b}$ можно записать как $a:b$.

Таким образом, мы показали, что $(an) : (bn) = a : b$ для любых натуральных $a, b, n$.

Ответ: Высказывание верно, так как оно представляет собой основное свойство пропорции (или дроби).

4) $ \forall n \in N: [(2n + 1) + (2n + 3)] - \text{кратно 4} $

Перевод на русский язык: Для любого натурального числа $n$ сумма выражений $(2n + 1)$ и $(2n + 3)$ кратна 4.

Доказательство: Утверждение должно быть верным для любого натурального $n$.

Рассмотрим выражение в скобках и упростим его:

$(2n + 1) + (2n + 3) = 2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4$

Теперь вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4n + 4 = 4(n+1)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n+1$ также является натуральным числом. Полученное выражение $4(n+1)$ представляет собой произведение числа 4 и натурального числа $n+1$. Любое число, являющееся произведением 4 и целого числа, по определению кратно 4.

Следовательно, утверждение истинно для любого натурального $n$.

Ответ: Высказывание верно, так как сумма всегда равна $4(n+1)$, что по определению кратно 4.

Условие 2010-2022.

399 Переведи высказывания с математического языка на русский и докажи их:

1) $\exists a, b \in N: a^2 - 3b = 6;$

2) $\exists x, y \in N: x \neq y \text{ и } x^y = y^x;$

3) $\forall a, b, n \in N: (an):(bn) = a:b;$

4) $\forall n \in N: [(2n + 1) + (2n + 3)] - \text{ кратно 4}.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).