Номер 400, страница 93, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 2. Задачи на проценты - номер 400, страница 93.

Условие 2023.

400 1) Какая из дробей ближе к единице: правильная или обратная ей неправильная?

2) Существует ли квадрат, у которого длина стороны – натуральное число, а площадь равна 201201201?

Решение 2 (2023).

1) Какая из дробей ближе к единице: правильная или обратная ей неправильная?

Чтобы определить, какая из дробей ближе к единице, нужно сравнить расстояния от этих дробей до единицы на числовой прямой. Расстояние — это модуль разности между числом и единицей.

Пусть дана произвольная несократимая положительная правильная дробь $ \frac{a}{b} $. По определению правильной дроби, её числитель меньше знаменателя, то есть $ a < b $, где $ a $ и $ b $ — натуральные числа. Значение такой дроби меньше 1.

Обратная ей дробь будет $ \frac{b}{a} $. Поскольку $ a < b $, эта дробь является неправильной, и её значение больше 1.

1. Найдем расстояние от правильной дроби $ \frac{a}{b} $ до единицы: $ d_1 = |1 - \frac{a}{b}| = 1 - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b} $

2. Найдем расстояние от обратной ей неправильной дроби $ \frac{b}{a} $ до единицы: $ d_2 = |\frac{b}{a} - 1| = \frac{b}{a} - 1 = \frac{b-a}{a} $

3. Теперь сравним эти два расстояния: $ d_1 = \frac{b-a}{b} $ и $ d_2 = \frac{b-a}{a} $. Обе дроби имеют одинаковый положительный числитель $ (b-a) $. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

По условию, для правильной дроби $ a < b $. Следовательно, знаменатель $ a $ меньше знаменателя $ b $. Отсюда следует, что $ \frac{b-a}{a} > \frac{b-a}{b} $, то есть $ d_2 > d_1 $.

Это означает, что расстояние от неправильной дроби до единицы больше, чем расстояние от правильной дроби до единицы. Таким образом, правильная дробь всегда ближе к единице.

Пример: Возьмем правильную дробь $ \frac{3}{4} $. Обратная ей неправильная дробь — $ \frac{4}{3} $.

Расстояние от $ \frac{3}{4} $ до 1 равно $ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $.

Расстояние от $ \frac{4}{3} $ до 1 равно $ \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} $.

Так как $ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $, правильная дробь $ \frac{3}{4} $ ближе к единице.

Ответ: К единице ближе правильная дробь.

2) Существует ли квадрат, у которого длина стороны — натуральное число, а площадь равна 201 201 201?

Площадь квадрата со стороной $ a $ равна $ S = a^2 $. Если длина стороны $ a $ — натуральное число, то его площадь $ a^2 $ должна быть полным квадратом (точным квадратом) натурального числа.

Таким образом, задача сводится к проверке, является ли число 201 201 201 полным квадратом.

Для того чтобы число было полным квадратом, все простые множители в его разложении должны входить в четных степенях.

Разложим число 201 201 201 на множители. Представим число в виде: $ 201201201 = 201 \times 10^6 + 201 \times 10^3 + 201 = 201 \times (10^6 + 10^3 + 1) = 201 \times 1001001 $

Теперь разложим на простые множители число 201. Сумма его цифр $ 2+0+1=3 $, значит, оно делится на 3. $ 201 = 3 \times 67 $

Число 67 является простым.

Таким образом, разложение числа 201 201 201 содержит простой множитель 67. $ 201201201 = 3 \times 67 \times 1001001 $

Чтобы исходное число было полным квадратом, множитель 67 должен входить в его разложение в четной степени. Это значит, что второй сомножитель, 1 001 001, также должен делиться на 67.

Проверим, делится ли 1 001 001 на 67, выполнив деление столбиком:

$ 1001001 \div 67 $

$ 100 \div 67 = 1 $ (остаток 33)

$ 331 \div 67 = 4 $ (остаток 63)

$ 630 \div 67 = 9 $ (остаток 27)

$ 270 \div 67 = 4 $ (остаток 2)

$ 21 \div 67 = 0 $ (остаток 21)

Деление дает частное 14940 и остаток 21. Следовательно, число 1 001 001 не делится нацело на 67.

Это означает, что в разложении числа 201 201 201 на простые множители простой множитель 67 входит в первой степени (нечетной).

Поскольку в разложении числа есть простой множитель в нечетной степени, оно не может быть полным квадратом натурального числа.

Ответ: Нет, такого квадрата не существует.

Условие 2010-2022.

400 1) Какая из дробей ближе к единице: правильная или обратная ей неправильная?

2) Существует ли квадрат, у которого длина стороны – натуральное число, а площадь равна 201201201?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).