Номер 391, страница 91, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 2. Задачи на проценты - номер 391, страница 91.

Условие 2023.

391 Вычисли и объясни, почему разные цепочки вычислений приводят к одному и тому же результату.

Первая цепочка:

$ 60 : 2 \cdot 0,1 \cdot 4 \cdot 100 : 3 \cdot 0,2 : 4 = ? $

Вторая цепочка:

$ 60 \cdot \frac{1}{2} : 10 : 0,25 : 0,01 \cdot \frac{1}{3} : 5 \cdot 0,25 = ? $

Решение 2 (2023).

Вычисли

Верхняя цепочка вычислений:

1. $60 : 2 = 30$
2. $30 \cdot 0,1 = 3$
3. $3 \cdot 4 = 12$
4. $12 \cdot 100 = 1200$
5. $1200 : 3 = 400$
6. $400 \cdot 0,2 = 80$
7. $80 : 4 = 20$

Нижняя цепочка вычислений:

1. $60 \cdot \frac{1}{2} = 30$
2. $30 : 10 = 3$
3. $3 : 0,25 = 3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot 4 = 12$
4. $12 : 0,01 = 12 : \frac{1}{100} = 12 \cdot 100 = 1200$
5. $1200 \cdot \frac{1}{3} = 400$
6. $400 : 5 = 80$
7. $80 \cdot 0,25 = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20$

Результат вычислений в обеих цепочках одинаков.

Ответ: 20.

Объясни

Разные цепочки вычислений приводят к одному и тому же результату, потому что каждая операция в верхней цепочке является математически эквивалентной (равносильной) соответствующей по порядку операции в нижней цепочке. Сравним операции на каждом шаге:

• Шаг 1: Разделить на 2 ($: 2$) — это то же самое, что умножить на $\frac{1}{2}$ ($\cdot \frac{1}{2}$).
• Шаг 2: Умножить на 0,1 ($\cdot 0,1$) — это то же самое, что разделить на 10 ($: 10$), поскольку $0,1 = \frac{1}{10}$.
• Шаг 3: Умножить на 4 ($\cdot 4$) — это то же самое, что разделить на 0,25 ($: 0,25$), поскольку деление на $0,25$ (то есть на $\frac{1}{4}$) равносильно умножению на 4.
• Шаг 4: Умножить на 100 ($\cdot 100$) — это то же самое, что разделить на 0,01 ($: 0,01$), поскольку деление на $0,01$ (то есть на $\frac{1}{100}$) равносильно умножению на 100.
• Шаг 5: Разделить на 3 ($: 3$) — это то же самое, что умножить на $\frac{1}{3}$ ($\cdot \frac{1}{3}$).
• Шаг 6: Умножить на 0,2 ($\cdot 0,2$) — это то же самое, что разделить на 5 ($: 5$), поскольку $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
• Шаг 7: Разделить на 4 ($: 4$) — это то же самое, что умножить на 0,25 ($\cdot 0,25$), поскольку $0,25 = \frac{1}{4}$.

Таким образом, мы начинаем с одного и того же числа 60 и последовательно выполняем равносильные математические преобразования. Это неизбежно приводит к одинаковому конечному результату.

Можно также представить все операции в виде одного выражения. Для обеих цепочек оно будет сводиться к умножению исходного числа на один и тот же коэффициент:

$60 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \cdot 4 \cdot 100 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}) = 60 \cdot \frac{400}{1200} = 60 \cdot \frac{1}{3} = 20$.

Ответ: Цепочки приводят к одному и тому же результату, так как состоят из последовательности математически эквивалентных операций, применяемых к одному и тому же начальному числу.

Условие 2010-2022.

391 Вычисли и объясни, почему разные цепочки вычислений приводят к одному и тому же результату:

Верхняя цепочка

$60 \xrightarrow{:2} \square \xrightarrow{\cdot 0,1} \square \xrightarrow{\cdot 4} \square \xrightarrow{\cdot 100} \square \xrightarrow{:3} \square \xrightarrow{\cdot 0,2} \square \xrightarrow{:4} ?$

Нижняя цепочка

$60 \xrightarrow{\cdot \frac{1}{2}} \square \xrightarrow{:10} \square \xrightarrow{:0,25} \square \xrightarrow{:0,01} \square \xrightarrow{\cdot \frac{1}{3}} \square \xrightarrow{:5} \square \xrightarrow{\cdot 0,25} ?$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).