Номер 419, страница 96, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Задачи на проценты. Параграф 2. Проценты. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 419, страница 96.

Условие 2023.

419. На сколько треугольников разбивают данный треугольник все его средние линии? Что можно сказать об образовавшихся треугольниках? Сформулируй гипотезу и проверь её, разрезав модель треугольника по средним линиям. Можно ли на основании проведённого исследования считать твою гипотезу доказанной?

Решение 2 (2023).

На сколько треугольников разбивают данный треугольник все его средние линии?
В любом треугольнике можно провести три средние линии. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ как $D$, $E$ и $F$ соответственно. Тогда средними линиями будут отрезки $DE$, $EF$ и $DF$. Эти три отрезка образуют внутри треугольника $ABC$ центральный треугольник $DEF$, а также отсекают три треугольника по углам исходного: $ADF$, $BDE$ и $CEF$. Таким образом, всего образуется 4 треугольника.
Ответ: Три средние линии разбивают треугольник на 4 треугольника.

Что можно сказать об образовавшихся треугольниках?
Сформулируем гипотезу: все четыре образовавшихся треугольника равны между собой (конгруэнтны).
Докажем это, используя свойство средней линии. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
Для треугольника $ABC$ имеем:
$DE$ - средняя линия, значит $DE = \frac{1}{2}AC$.
$EF$ - средняя линия, значит $EF = \frac{1}{2}AB$.
$DF$ - средняя линия, значит $DF = \frac{1}{2}BC$.
Теперь рассмотрим стороны каждого из четырёх малых треугольников:
1. Треугольник $ADF$: $D$ и $F$ - середины сторон $AB$ и $AC$, поэтому $AD = \frac{1}{2}AB$ и $AF = \frac{1}{2}AC$. Стороны этого треугольника равны: $\frac{1}{2}AB$, $\frac{1}{2}AC$ и $DF = \frac{1}{2}BC$.2. Треугольник $BDE$: $D$ и $E$ - середины сторон $AB$ и $BC$, поэтому $BD = \frac{1}{2}AB$ и $BE = \frac{1}{2}BC$. Стороны этого треугольника равны: $\frac{1}{2}AB$, $\frac{1}{2}BC$ и $DE = \frac{1}{2}AC$.3. Треугольник $CEF$: $E$ и $F$ - середины сторон $BC$ и $AC$, поэтому $CE = \frac{1}{2}BC$ и $CF = \frac{1}{2}AC$. Стороны этого треугольника равны: $\frac{1}{2}BC$, $\frac{1}{2}AC$ и $EF = \frac{1}{2}AB$.4. Треугольник $DEF$: его стороны, как мы уже выяснили, равны $DE = \frac{1}{2}AC$, $EF = \frac{1}{2}AB$ и $DF = \frac{1}{2}BC$.
Все четыре треугольника ($ADF$, $BDE$, $CEF$ и $DEF$) имеют одинаковый набор длин сторон: $\frac{1}{2}AB$, $\frac{1}{2}BC$, $\frac{1}{2}AC$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), все эти четыре треугольника равны между собой. Также каждый из них подобен исходному треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.
Ответ: Все четыре образовавшихся треугольника равны (конгруэнтны) между собой и подобны исходному треугольнику.

Сформулируй гипотезу и проверь её, разрезав модель треугольника по средним линиям.
Гипотеза: три средние линии разбивают произвольный треугольник на четыре равных (конгруэнтных) друг другу треугольника.
Проверка: возьмём бумажную модель произвольного треугольника, наметим на его сторонах середины и соединим их отрезками (средними линиями). Затем разрежем модель по этим трём линиям. Мы получим четыре маленьких треугольника. Если приложить их друг к другу (или наложить один на другой), можно будет убедиться, что они полностью совпадают по форме и размеру. Это подтверждает выдвинутую гипотезу на практике.
Ответ: Гипотеза состоит в том, что средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника. Практическая проверка путём разрезания модели подтверждает эту гипотезу.

Можно ли на основании проведённого исследования считать твою гипотезу доказанной?
Нет, на основании только проведённого исследования (эксперимента с разрезанием модели) считать гипотезу доказанной в строгом математическом смысле нельзя. Эксперимент, даже повторенный многократно с разными моделями, является лишь эмпирической проверкой, которая показывает, что утверждение, скорее всего, верно. Он не охватывает все бесконечное множество возможных треугольников и не может исключить погрешности измерений или изготовления модели. Математическое доказательство требует строгого логического вывода, основанного на аксиомах и ранее доказанных теоремах, которое будет справедливо для абсолютно любого треугольника, а не только для конкретного рассмотренного экземпляра. Такое доказательство было приведено в ответе на второй вопрос.
Ответ: Нет, проведённое исследование является экспериментом, а не строгим математическим доказательством. Для доказательства гипотезы необходимо использовать теоретические положения геометрии, такие как свойство средней линии и признаки равенства треугольников.

Условие 2010-2022.

419 На сколько треугольников разбивают данный треугольник все его средние линии? Что можно сказать об образовавшихся треугольниках? Сформулируй гипотезу и проверь ее, разрезав модель треугольника по средним линиям. Можно ли на основании проведенного исследования считать твою гипотезу доказанной?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).