Номер 426, страница 97, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 2. Задачи на проценты - номер 426, страница 97.

Условие 2023.

* 426 На заводе в в январе и феврале более $\frac{1}{3}$ от выпуска продукции составила продукция высшего качества. Какая часть продукции высшего качества выпущена за январь и февраль отдельно, если каждая из этих дробей несократима, не изменяется при одновременном прибавлении к числителю 2 и умножении знаменателя на 2 и если за январь выпущено больше, чем за февраль?

Решение 2 (2023).

Обозначим часть продукции высшего качества, выпущенной в январе, как несократимую дробь $ \frac{H_1}{V_1} $, где $H_1$ – количество продукции высшего качества, а $V_1$ – общее количество выпущенной продукции в январе. Аналогично, для февраля введем дробь $ \frac{H_2}{V_2} $.

По условию, каждая из этих дробей не изменяется при одновременном прибавлении к числителю 2 и умножении знаменателя на 2. Запишем это свойство для произвольной дроби $ \frac{H}{V} $:$$ \frac{H}{V} = \frac{H+2}{2V} $$Поскольку $V$ (общее количество продукции) не может быть равно нулю, мы можем умножить обе части равенства на $2V$:$$ 2V \cdot \frac{H}{V} = 2V \cdot \frac{H+2}{2V} $$$$ 2H = H+2 $$$$ H = 2 $$Это означает, что и в январе, и в феврале было выпущено по 2 единицы продукции высшего качества: $H_1=2$ и $H_2=2$.Таким образом, искомые дроби имеют вид $ \frac{2}{V_1} $ и $ \frac{2}{V_2} $.

Далее, по условию, каждая из этих дробей несократима. Дробь вида $ \frac{2}{V} $ несократима, только если её знаменатель $V$ не имеет общих делителей с числом 2, кроме единицы. Это означает, что $V$ должно быть нечётным числом. Кроме того, количество продукции высшего качества не может превышать общее количество, то есть $H \le V$, откуда $2 \le V$. Следовательно, $V_1$ и $V_2$ – нечётные целые числа, большие или равные 3.

В условии сказано, что за январь выпущено больше продукции, чем за февраль. Это значит, что $V_1 > V_2$.

Последнее условие гласит, что за оба месяца доля продукции высшего качества составила более $ \frac{1}{3} $. Суммарный выпуск продукции высшего качества равен $H_1+H_2 = 2+2=4$. Общий выпуск продукции за два месяца равен $V_1+V_2$. Составим неравенство:$$ \frac{H_1+H_2}{V_1+V_2} > \frac{1}{3} $$$$ \frac{4}{V_1+V_2} > \frac{1}{3} $$Так как знаменатель $V_1+V_2$ положителен, можем преобразовать неравенство:$$ 12 > V_1+V_2 $$

Итак, мы ищем два нечётных целых числа $V_1$ и $V_2$, для которых выполняются следующие условия:1. $V_1 \ge 3$ и $V_2 \ge 3$2. $V_1 > V_2$3. $V_1 + V_2 < 12$

Найдём возможные пары чисел, начав с наименьшего возможного значения для $V_2$.

• Пусть $V_2 = 3$. Тогда из условий $V_1 > 3$ и $V_1+3 < 12$ (то есть $V_1 < 9$) следует, что $V_1$ может быть нечётным числом 5 или 7. Мы получаем две возможные пары для $(V_1, V_2)$: $(5, 3)$ и $(7, 3)$.
• Пусть $V_2 = 5$. Тогда из $V_1 > 5$ и $V_1+5 < 12$ (то есть $V_1 < 7$) следует, что $V_1$ должно быть нечётным числом между 5 и 7. Таких целых чисел нет.
• Если $V_2 \ge 7$, то $V_1$ должно быть нечётным и $V_1 > 7$, то есть $V_1 \ge 9$. В этом случае их сумма $V_1+V_2 \ge 9+7 = 16$, что противоречит условию $V_1+V_2 < 12$.

Таким образом, существуют два возможных набора решений:1. Если $(V_1, V_2) = (5, 3)$, то доля продукции высшего качества в январе составила $ \frac{2}{5} $, а в феврале – $ \frac{2}{3} $.2. Если $(V_1, V_2) = (7, 3)$, то доля продукции высшего качества в январе составила $ \frac{2}{7} $, а в феврале – $ \frac{2}{3} $.

Оба варианта удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: Существует два возможных решения:
1) в январе $ \frac{2}{5} $ продукции была высшего качества, в феврале – $ \frac{2}{3} $;
2) в январе $ \frac{2}{7} $ продукции была высшего качества, в феврале – $ \frac{2}{3} $.

Условие 2010-2022.

426 На заводе в каждом из двух месяцев, в январе и феврале, более $ \frac{1}{3} $ от выпуска продукции составила продукция высшего качества. Какая часть продукции высшего качества выпущена за январь и февраль отдельно, если известно, что каждая из этих дробей несократима, не изменяется при одновременном прибавлении к числителю 2 и умножении знаменателя на 2, и если за январь выпущено больше, чем за февраль?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).