Номер 453, страница 104, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 3. Простой процентный рост - номер 453, страница 104.

Условие 2023.

453. Начальная сумма составляет 100 р. Ежемесячно она увеличивается на 2,5 %. Через сколько месяцев эта сумма возрастет до:

а) 115 р.;

б) 140 р.;

в) 180 р.;

г) 200 р.?

Решение 2 (2023).

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов. Если начальная сумма $S_0$ увеличивается на $p$ процентов каждый период, то через $n$ периодов сумма $S_n$ будет равна:
$S_n = S_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$
В данном случае начальная сумма $S_0 = 100$ р., а ежемесячное увеличение $p = 2,5\%$. Формула для суммы через $n$ месяцев выглядит так:
$S_n = 100 \cdot \left(1 + \frac{2,5}{100}\right)^n = 100 \cdot (1,025)^n$
Нам нужно найти наименьшее целое число месяцев $n$, по прошествии которых сумма достигнет или превысит заданное значение $A$. Для этого будем решать неравенство $S_n \ge A$.

а) Найдем, через сколько месяцев сумма возрастет до 115 р.
Для этого решим неравенство:
$100 \cdot (1,025)^n \ge 115$
$(1,025)^n \ge \frac{115}{100}$
$(1,025)^n \ge 1,15$
Прологарифмируем обе части неравенства (можно использовать натуральный логарифм $\ln$):
$n \cdot \ln(1,025) \ge \ln(1,15)$
$n \ge \frac{\ln(1,15)}{\ln(1,025)} \approx \frac{0,13976}{0,02469} \approx 5,66$
Поскольку количество месяцев $n$ должно быть целым, берем наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, то есть $n=6$.
Проверка:
Через 5 месяцев: $S_5 = 100 \cdot (1,025)^5 \approx 113,14$ р. ( < 115 р.)
Через 6 месяцев: $S_6 = 100 \cdot (1,025)^6 \approx 115,97$ р. ( ≥ 115 р.)
Таким образом, сумма достигнет 115 р. через 6 месяцев.
Ответ: 6 месяцев.

б) Найдем, через сколько месяцев сумма возрастет до 140 р.
Решаем неравенство:
$100 \cdot (1,025)^n \ge 140$
$(1,025)^n \ge 1,4$
$n \ge \frac{\ln(1,4)}{\ln(1,025)} \approx \frac{0,33647}{0,02469} \approx 13,63$
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 14.
Проверка:
Через 13 месяцев: $S_{13} = 100 \cdot (1,025)^{13} \approx 137,85$ р. ( < 140 р.)
Через 14 месяцев: $S_{14} = 100 \cdot (1,025)^{14} \approx 141,30$ р. ( ≥ 140 р.)
Следовательно, сумма достигнет 140 р. через 14 месяцев.
Ответ: 14 месяцев.

в) Найдем, через сколько месяцев сумма возрастет до 180 р.
Решаем неравенство:
$100 \cdot (1,025)^n \ge 180$
$(1,025)^n \ge 1,8$
$n \ge \frac{\ln(1,8)}{\ln(1,025)} \approx \frac{0,58778}{0,02469} \approx 23,81$
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 24.
Проверка:
Через 23 месяца: $S_{23} = 100 \cdot (1,025)^{23} \approx 176,44$ р. ( < 180 р.)
Через 24 месяца: $S_{24} = 100 \cdot (1,025)^{24} \approx 180,87$ р. ( ≥ 180 р.)
Значит, через 24 месяца сумма превысит 180 р.
Ответ: 24 месяца.

г) Найдем, через сколько месяцев сумма возрастет до 200 р.
Решаем неравенство:
$100 \cdot (1,025)^n \ge 200$
$(1,025)^n \ge 2$
$n \ge \frac{\ln(2)}{\ln(1,025)} \approx \frac{0,69315}{0,02469} \approx 28,07$
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 29.
Проверка:
Через 28 месяцев: $S_{28} = 100 \cdot (1,025)^{28} \approx 199,65$ р. ( < 200 р.)
Через 29 месяцев: $S_{29} = 100 \cdot (1,025)^{29} \approx 204,64$ р. ( ≥ 200 р.)
Таким образом, для достижения суммы в 200 р. потребуется 29 месяцев.
Ответ: 29 месяцев.

Условие 2010-2022.

D 453 Начальная сумма составляет 100 р. Ежемесячно она увеличивается на 2,5%. Через сколько месяцев эта сумма возрастет до:

а) 115 р.;

б) 140 р.;

в) 180 р.;

г) 200 р.?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).