Номер 456, страница 104, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Простой процентный рост. Параграф 2. Проценты. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 456, страница 104.

Условие 2023.

456 Стоимость килограмма овощей в течение месяца после сбора составляет $S_0$ р. Каждый следующий месяц до нового урожая стоимость увеличивается на $p$ % от первоначальной стоимости. Чему будет равна стоимость $S_k$ килограмма овощей через $k$ месяцев?

1) Составь формулу для решения задачи.

2) Реши задачу при $S_0 = 80$, $p = 10$, $k = 3$; $5$; $7$.

3) С помощью составленной формулы заполни таблицу:

$S_0$ р. | $S_k$ р. | $p$ % | $k$ месяцев

20 | 30 | 12,5 | ?

25 | ? | 20 | 3

? | 27 | 10 | 8

40 | 70 | ? | 5

Решение 2 (2023).

1) Составь формулу для решения задачи.

Пусть $S_0$ — первоначальная стоимость килограмма овощей.Каждый месяц стоимость увеличивается на $p\%$ от первоначальной стоимости. Величина этого увеличения постоянна и составляет:

$\Delta S = S_0 \cdot \frac{p}{100}$

Через $k$ месяцев общее увеличение стоимости составит $k$ раз по $\Delta S$. Таким образом, общее увеличение будет равно:

$k \cdot \Delta S = k \cdot S_0 \cdot \frac{p}{100}$

Стоимость $S_k$ через $k$ месяцев будет равна первоначальной стоимости плюс общее увеличение:

$S_k = S_0 + k \cdot S_0 \cdot \frac{p}{100}$

Вынесем $S_0$ за скобки, чтобы получить итоговую формулу:

$S_k = S_0 \left(1 + \frac{kp}{100}\right)$

Ответ: $S_k = S_0 \left(1 + \frac{kp}{100}\right)$

2) Реши задачу при S₀ = 80, p = 10, k = 3; 5; 7.

Используем полученную формулу $S_k = S_0 \left(1 + \frac{kp}{100}\right)$ с заданными значениями $S_0 = 80$ и $p = 10$.

При $k = 3$:
$S_3 = 80 \left(1 + \frac{3 \cdot 10}{100}\right) = 80 \left(1 + \frac{30}{100}\right) = 80(1 + 0,3) = 80 \cdot 1,3 = 104$ р.

При $k = 5$:
$S_5 = 80 \left(1 + \frac{5 \cdot 10}{100}\right) = 80 \left(1 + \frac{50}{100}\right) = 80(1 + 0,5) = 80 \cdot 1,5 = 120$ р.

При $k = 7$:
$S_7 = 80 \left(1 + \frac{7 \cdot 10}{100}\right) = 80 \left(1 + \frac{70}{100}\right) = 80(1 + 0,7) = 80 \cdot 1,7 = 136$ р.

Ответ: при k=3 стоимость составит 104 р., при k=5 - 120 р., при k=7 - 136 р.

3) С помощью составленной формулы заполни таблицу:

Для заполнения таблицы будем использовать основную формулу $S_k = S_0 \left(1 + \frac{kp}{100}\right)$ и выраженные из нее формулы для нахождения неизвестных величин.

Первая строка:
Дано: $S_0 = 20$, $S_k = 30$, $p = 12,5$. Найти $k$.
Выразим $k$ из формулы: $k = \frac{100(S_k - S_0)}{S_0 p}$.
$k = \frac{100(30 - 20)}{20 \cdot 12,5} = \frac{100 \cdot 10}{250} = \frac{1000}{250} = 4$.
Неизвестное значение: $k = 4$.

Вторая строка:
Дано: $S_0 = 25$, $p = 20$, $k = 3$. Найти $S_k$.
$S_k = 25 \left(1 + \frac{3 \cdot 20}{100}\right) = 25 \left(1 + \frac{60}{100}\right) = 25(1 + 0,6) = 25 \cdot 1,6 = 40$.
Неизвестное значение: $S_k = 40$.

Третья строка:
Дано: $S_k = 27$, $p = 10$, $k = 8$. Найти $S_0$.
Выразим $S_0$ из формулы: $S_0 = \frac{S_k}{1 + \frac{kp}{100}}$.
$S_0 = \frac{27}{1 + \frac{8 \cdot 10}{100}} = \frac{27}{1 + 0,8} = \frac{27}{1,8} = 15$.
Неизвестное значение: $S_0 = 15$.

Четвертая строка:
Дано: $S_0 = 40$, $S_k = 70$, $k = 5$. Найти $p$.
Выразим $p$ из формулы: $p = \frac{100(S_k - S_0)}{S_0 k}$.
$p = \frac{100(70 - 40)}{40 \cdot 5} = \frac{100 \cdot 30}{200} = \frac{3000}{200} = 15$.
Неизвестное значение: $p = 15$.

Заполненная таблица:

S₀ р.	Sₖ р.	p %	k месяцев
20	30	12,5	4
25	40	20	3
15	27	10	8
40	70	15	5

Ответ: Пропущенные значения в таблице: 4, 40, 15, 15.

Условие 2010-2022.

456 Стоимость килограмма овощей в течение месяца после сбора составляет $S_0$ рублей. Каждый следующий месяц до нового урожая стоимость увеличивается на $p$% от первоначальной стоимости. Чему будет равна стоимость $S_k$ килограмма овощей через $k$ месяцев?

1) Составь формулу для решения задачи. 2) Реши задачу при $S_0 = 80, p = 10, k = 3; 5; 7.$ 3) С помощью составленной формулы заполни таблицу:

$S_0$ рублей	$S_k$ рублей	$p$%	$k$ месяцев
20	30	12,5	?
25	?	20	3
?	27	10	8
40	70	?	5

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).