Номер 114, страница 29, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 4. Свойства и преобразование пропорций - номер 114, страница 29.

Условие 2023.

D 114 Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие её:

a) $16 : 8 = 2 : 1$;

б) $\frac{0,3}{1,2} = \frac{2}{8}$;

в) $\frac{m}{n} = \frac{x}{y}$.

Решение 2 (2023).

Основное свойство пропорции $a:b=c:d$ (или в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$) заключается в том, что произведение её крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению средних членов ($b$ и $c$), то есть $a \cdot d = b \cdot c$. Любая перестановка членов, сохраняющая это равенство, приводит к новой верной пропорции. Существует 8 таких перестановок для каждой исходной пропорции.

а)

Дана пропорция $16 : 8 = 2 : 1$. Проверим её основное свойство: произведение крайних членов $16 \cdot 1 = 16$, произведение средних членов $8 \cdot 2 = 16$. Равенство $16 = 16$ выполняется, значит, пропорция верна.

Выполним все возможные перестановки членов, сохраняющие пропорцию:

1. Поменяв местами средние члены (8 и 2), получим: $16 : 2 = 8 : 1$.

2. Поменяв местами крайние члены (16 и 1), получим: $1 : 8 = 2 : 16$.

3. Обратив оба отношения (поменяв местами делимое и делитель в каждом отношении), получим: $8 : 16 = 1 : 2$.

4. Поменяв местами левую и правую части исходной пропорции, получим: $2 : 1 = 16 : 8$.

5. Из пропорции $16 : 2 = 8 : 1$ (пункт 1), поменяв местами части, получим: $8 : 1 = 16 : 2$.

6. Из пропорции $1 : 8 = 2 : 16$ (пункт 2), поменяв местами части, получим: $2 : 16 = 1 : 8$.

7. Из пропорции $8 : 16 = 1 : 2$ (пункт 3), поменяв местами части, получим: $1 : 2 = 8 : 16$.

Ответ: $16 : 2 = 8 : 1$; $1 : 8 = 2 : 16$; $8 : 16 = 1 : 2$; $2 : 1 = 16 : 8$; $8 : 1 = 16 : 2$; $2 : 16 = 1 : 8$; $1 : 2 = 8 : 16$.

б)

Дана пропорция $\frac{0,3}{1,2} = \frac{2}{8}$. Проверим её основное свойство: $0,3 \cdot 8 = 2,4$ и $1,2 \cdot 2 = 2,4$. Равенство $2,4 = 2,4$ выполняется, пропорция верна.

Выполним все возможные перестановки членов:

1. Поменяв местами средние члены (1,2 и 2), получим: $\frac{0,3}{2} = \frac{1,2}{8}$.

2. Поменяв местами крайние члены (0,3 и 8), получим: $\frac{8}{1,2} = \frac{2}{0,3}$.

3. "Перевернув" обе дроби, получим: $\frac{1,2}{0,3} = \frac{8}{2}$.

4. Поменяв местами левую и правую части исходной пропорции, получим: $\frac{2}{8} = \frac{0,3}{1,2}$.

5. Поменяв местами части пропорции из пункта 1, получим: $\frac{1,2}{8} = \frac{0,3}{2}$.

6. Поменяв местами части пропорции из пункта 2, получим: $\frac{2}{0,3} = \frac{8}{1,2}$.

7. Поменяв местами части пропорции из пункта 3, получим: $\frac{8}{2} = \frac{1,2}{0,3}$.

Ответ: $\frac{0,3}{2} = \frac{1,2}{8}$; $\frac{8}{1,2} = \frac{2}{0,3}$; $\frac{1,2}{0,3} = \frac{8}{2}$; $\frac{2}{8} = \frac{0,3}{1,2}$; $\frac{1,2}{8} = \frac{0,3}{2}$; $\frac{2}{0,3} = \frac{8}{1,2}$; $\frac{8}{2} = \frac{1,2}{0,3}$.

в)

Дана пропорция $\frac{m}{n} = \frac{x}{y}$. Её основное свойство: $m \cdot y = n \cdot x$.

Все верные пропорции, которые можно составить из этих членов, должны удовлетворять этому равенству.

1. Поменяв местами средние члены (n и x), получим: $\frac{m}{x} = \frac{n}{y}$.

2. Поменяв местами крайние члены (m и y), получим: $\frac{y}{n} = \frac{x}{m}$.

3. "Перевернув" обе дроби, получим: $\frac{n}{m} = \frac{y}{x}$.

4. Поменяв местами левую и правую части исходной пропорции, получим: $\frac{x}{y} = \frac{m}{n}$.

5. Поменяв местами части пропорции из пункта 1, получим: $\frac{n}{y} = \frac{m}{x}$.

6. Поменяв местами части пропорции из пункта 2, получим: $\frac{x}{m} = \frac{y}{n}$.

7. Поменяв местами части пропорции из пункта 3, получим: $\frac{y}{x} = \frac{n}{m}$.

Ответ: $\frac{m}{x} = \frac{n}{y}$; $\frac{y}{n} = \frac{x}{m}$; $\frac{n}{m} = \frac{y}{x}$; $\frac{x}{y} = \frac{m}{n}$; $\frac{n}{y} = \frac{m}{x}$; $\frac{x}{m} = \frac{y}{n}$; $\frac{y}{x} = \frac{n}{m}$.

Условие 2010-2022.

114 Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие ее:

a) $16 : 8 = 2 : 1;$

б) $\frac{0,3}{1,2} = \frac{2}{8};$

в) $\frac{m}{n} = \frac{x}{y}.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).