Номер 115, страница 29, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 4. Свойства и преобразование пропорций - номер 115, страница 29.

Условие 2023.

115 Для данной пропорции составь несколько производных пропорций. Рядом запиши в буквенном виде, какие равносильные преобразования пропорций для этого использовались.

а) $ \frac{5}{7} = \frac{10}{14} $

б) $ \frac{3}{2} = \frac{18}{12} $

в) $ \frac{2}{5} = \frac{6}{15} $

Решение 2 (2023).

Для каждой данной пропорции можно составить производные пропорции, используя различные равносильные преобразования. Основные из них — перестановка средних или крайних членов, обращение пропорции, а также сложение или вычитание членов пропорции.

а) Для данной пропорции $ \frac{5}{7} = \frac{10}{14} $ составим несколько производных пропорций.

1. Перестановка средних членов. Поменяв местами средние члены пропорции (7 и 10), получим верную пропорцию $ \frac{5}{10} = \frac{7}{14} $. В буквенном виде это преобразование записывается так: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $.

2. Обращение пропорции. Если в верной пропорции поменять местами числитель и знаменатель в каждом отношении, то получится снова верная пропорция: $ \frac{7}{5} = \frac{14}{10} $. В буквенном виде: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $.

Ответ: Например, $ \frac{5}{10} = \frac{7}{14} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $) и $ \frac{7}{5} = \frac{14}{10} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $).

б) Для данной пропорции $ \frac{3}{2} = \frac{18}{12} $ составим несколько производных пропорций.

1. Перестановка крайних членов. Поменяв местами крайние члены пропорции (3 и 12), получим верную пропорцию $ \frac{12}{2} = \frac{18}{3} $. В буквенном виде это преобразование записывается так: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $.

2. Сложение членов пропорции. Если к числителю каждого отношения прибавить его знаменатель, а знаменатели оставить без изменения, то получится верная пропорция: $ \frac{3+2}{2} = \frac{18+12}{12} $, то есть $ \frac{5}{2} = \frac{30}{12} $. В буквенном виде: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $.

Ответ: Например, $ \frac{12}{2} = \frac{18}{3} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $) и $ \frac{5}{2} = \frac{30}{12} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $).

в) Для данной пропорции $ \frac{2}{5} = \frac{6}{15} $ составим несколько производных пропорций.

1. Перестановка средних членов. Поменяв местами средние члены пропорции (5 и 6), получим верную пропорцию $ \frac{2}{6} = \frac{5}{15} $. В буквенном виде это преобразование записывается так: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $.

2. Сложение числителей и знаменателей. Можно составить верную пропорцию, в которой отношение суммы числителей к сумме знаменателей равно каждому из данных отношений: $ \frac{2+6}{5+15} = \frac{2}{5} $, то есть $ \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $. В буквенном виде: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} $.

Ответ: Например, $ \frac{2}{6} = \frac{5}{15} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $) и $ \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} $).

Условие 2010-2022.

115 Для данной пропорции составь несколько производных пропорций. Рядом запиши в буквенном виде, какие равносильные преобразования пропорций для этого использовались.

а) $\frac{5}{7} = \frac{10}{14}$;

б) $\frac{3}{2} = \frac{18}{12}$;

в) $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).