Номер 117, страница 30, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 4. Свойства и преобразование пропорций - номер 117, страница 30.

Условие 2023.

117 Математическое исследование

1) В треугольнике ABC проведён отрезок MN, параллельный стороне AC.

Измерь длины отрезков AM, MB, BN и NC и составь пропорцию из полученных чисел. Повтори исследование для произвольного треугольника ABC и отрезка MN, параллельного его стороне AC. Сформулируй гипотезу.

2) Используй преобразования пропорций, чтобы, исходя из гипотезы, получить новые свойства данной фигуры.

Можно ли на основании проведённых построений и измерений считать гипотезу и её следствия верными для общего случая? Почему?

Решение 2 (2023).

1) Проведём исследование, как предложено в задании. Сначала начертим произвольный треугольник $ABC$. Затем проведём в нём отрезок $MN$, параллельный стороне $AC$, так, чтобы точка $M$ лежала на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$.
Далее, с помощью линейки измерим длины отрезков, на которые точки $M$ и $N$ делят стороны $AB$ и $BC$ соответственно: $AM, MB, BN$ и $NC$.
Например, в результате измерений мы могли бы получить следующие значения: $MB = 2$ см, $AM = 3$ см, $BN = 2.4$ см, $NC = 3.6$ см.
Теперь составим отношения длин отрезков для каждой стороны и сравним их:
$\frac{MB}{AM} = \frac{2}{3}$
$\frac{BN}{NC} = \frac{2.4}{3.6} = \frac{24}{36} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{2}{3}$
Мы видим, что отношения равны. Повторив этот эксперимент для нескольких разных треугольников и различного положения отрезка $MN$, мы будем наблюдать ту же самую закономерность. Это позволяет нам сформулировать гипотезу.
Гипотеза: Если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие его стороны, то она делит эти стороны на пропорциональные отрезки. Математически для нашего случая это можно записать в виде пропорции: $\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$.
Ответ: Гипотеза: прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, делит эти стороны на пропорциональные отрезки. Для треугольника $ABC$ и прямой $MN$, параллельной $AC$ ($M \in AB, N \in BC$), это выражается пропорцией $\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$.

2) Используя сформулированную гипотезу $\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$ и свойства пропорций, выведем новые свойства данной фигуры.
Воспользуемся производной пропорцией: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$. Применим это свойство к пропорции $\frac{MA}{BM} = \frac{NC}{BN}$ (полученной из исходной путём обращения):
$\frac{MA+BM}{BM} = \frac{NC+BN}{BN}$
Поскольку $MA+BM = AB$ и $NC+BN = BC$, мы получаем новое соотношение: $\frac{AB}{BM} = \frac{BC}{BN}$.
Это свойство можно также записать в виде $\frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC}$.
Аналогично, применив свойство к исходной пропорции $\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$, получим: $\frac{BM+MA}{MA} = \frac{BN+NC}{NC}$, что даёт нам ещё одно свойство: $\frac{AB}{MA} = \frac{BC}{NC}$.
Все эти пропорции являются следствиями из подобия треугольников $MBN$ и $ABC$. Так как $MN || AC$, то $\angle BMN = \angle BAC$ и $\angle BNM = \angle BCA$ (как соответственные), следовательно, $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ по двум углам. Из подобия следует: $\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$.

Теперь ответим на вопрос, можно ли на основании проведённых построений и измерений считать гипотезу и её следствия верными для общего случая.
Нет, нельзя. Математическое исследование, основанное на измерениях, является эмпирическим. Оно позволяет выдвинуть гипотезу, но не доказать её. Во-первых, любые реальные измерения производятся с некоторой погрешностью, поэтому мы можем получить лишь приблизительное равенство, но не доказать его абсолютную точность. Во-вторых, эксперимент можно провести лишь для конечного числа частных случаев, в то время как гипотеза претендует на истинность для бесконечного множества всех возможных треугольников. Для того чтобы утверждение считалось математически доказанным, оно должно быть выведено логически из аксиом и ранее доказанных теорем (в данном случае, через подобие треугольников).
Ответ: Новые свойства, полученные из гипотезы: $\frac{AB}{BM} = \frac{BC}{BN}$ и $\frac{AB}{MA} = \frac{BC}{NC}$. Считать гипотезу и её следствия верными для общего случая на основании только измерений нельзя, так как измерения неточны и охватывают лишь частные случаи, в то время как математическое доказательство требует строгой логической аргументации для всех возможных случаев.

Условие 2010-2022.

117 Математическое исследование.

1) В треугольнике $ABC$ проведен отрезок $MN$, параллельный стороне $AC$:

Измерь длины отрезков $AM$, $MB$, $BN$ и $NC$ и составь пропорцию из полученных чисел. Повтори исследование для произвольного треугольника $ABC$ и отрезка $MN$, параллельного его стороне $AC$. Сформулируй гипотезу.

2) Используй преобразования пропорций, чтобы, исходя из гипотезы, получить новые свойства данной фигуры.

Можно ли на основании проведенных построений и измерений считать гипотезу и ее следствия верными для общего случая? Почему?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).