Номер 122, страница 30, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 4. Свойства и преобразование пропорций - номер 122, страница 30.

Условие 2023.

122* Взяв у сестрёнки по одной карточке с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел, что полученные двузначные числа относятся как $1 : 2 : 3 : 4 : 5$. Когда вечером он захотел показать этот интересный результат отцу, то обнаружил, что отсутствует карточка с цифрой 0. Однако, подумав, он из оставшихся карточек сложил пять чисел, отношение которых вновь было равно $1 : 2 : 3 : 4 : 5$. Как он раскладывал карточки в первый и во второй раз?

Решение 2 (2023).

В первый раз

Изначально у Гены было 10 карточек с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Он составил из них пять двузначных чисел. Это означает, что все 10 карточек были использованы, и каждая цифра в полученных числах встречается ровно один раз.

Пусть наименьшее из этих чисел равно $x$. Тогда все пять чисел равны $x$, $2x$, $3x$, $4x$ и $5x$. Так как все числа двузначные, должны выполняться два условия:

1. $x \ge 10$ (так как $x$ — наименьшее двузначное число в ряду).
2. $5x \le 99$ (так как $5x$ — наибольшее число в ряду, и оно должно быть двузначным). Отсюда $x \le 19.8$.

Таким образом, значение $x$ находится в диапазоне от 10 до 19. Проверим все возможные значения $x$, чтобы найти набор чисел, состоящий из 10 уникальных цифр от 0 до 9.

• Если $x = 12$, числа: 12, 24, 36, 48, 60. Набор цифр: {1, 2, 2, 4, 3, 6, 4, 8, 6, 0}. Цифры 2, 4, 6 повторяются. Не подходит.
• Если $x = 17$, числа: 17, 34, 51, 68, 85. Набор цифр: {1, 7, 3, 4, 5, 1, 6, 8, 8, 5}. Цифры 1, 5, 8 повторяются. Не подходит.
• Если $x = 18$, числа: 18, 36, 54, 72, 90. Набор цифр: {1, 8, 3, 6, 5, 4, 7, 2, 9, 0}. Все цифры от 0 до 9 использованы по одному разу. Это и есть искомый набор.
• Если $x = 19$, числа: 19, 38, 57, 76, 95. Набор цифр: {1, 9, 3, 8, 5, 7, 7, 6, 9, 5}. Цифры 5, 7, 9 повторяются. Не подходит.

Перебор остальных вариантов также не дает нужного результата.

Ответ: в первый раз Гена разложил карточки, получив числа 18, 36, 54, 72, 90.

Во второй раз

Во второй раз у Гены не было карточки с цифрой 0. У него остались 9 карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ему снова нужно было сложить пять чисел, отношение которых равно $1:2:3:4:5$.

Поскольку в наличии всего 9 карточек (то есть 9 цифр), невозможно составить пять двузначных чисел, так как для этого потребовалось бы $5 \times 2 = 10$ карточек. Это означает, что хотя бы одно из чисел должно быть однозначным.

Пусть наименьшее число равно $y$. Тогда ряд чисел: $y, 2y, 3y, 4y, 5y$. Если $y$ — однозначное число, то для составления всех пяти чисел потребуется 9 цифр (одно однозначное и четыре двузначных). Это как раз соответствует количеству имеющихся карточек.

Проверим возможные значения для однозначного числа $y$. При этом ни одно из чисел $y, 2y, 3y, 4y, 5y$ не должно содержать цифру 0.

• Если $y = 7$, числа: 7, 14, 21, 28, 35. Набор цифр: {7, 1, 4, 2, 1, 2, 8, 3, 5}. Цифры 1 и 2 повторяются. Не подходит.
• Если $y = 8$, числа: 8, 16, 24, 32, 40. Число 40 содержит 0, которого нет. Не подходит.
• Если $y = 9$, числа: 9, 18, 27, 36, 45. Набор цифр: {9, 1, 8, 2, 7, 3, 6, 4, 5}. Все цифры от 1 до 9 уникальны. Это решение подходит.

Ответ: во второй раз Гена разложил карточки, получив числа 9, 18, 27, 36, 45.

Условие 2010-2022.

122 Взяв у сестренки по одной карточке с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел, что полученные двузначные числа относятся как $1 : 2 : 3 : 4 : 5$. Когда вечером он захотел показать этот интересный результат отцу, то обнаружил, что отсутствует карточка с цифрой 0. Однако, подумав, он из оставшихся карточек сложил пять чисел, отношение которых вновь было равно $1 : 2 : 3 : 4 : 5$. Как он раскладывал карточки в первый и во второй раз?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).