Номер 162, страница 42, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 162, страница 42.

Условие 2023.

162 Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью. Найди коэффициент пропорциональности и запиши формулу зависимости между этими величинами:

1) скорость и время движения на участке пути 50 км;

$v \cdot t = 50$

2) скорость движения и путь, пройденный за 3 ч;

$S = 3v$

3) объём работы, выполненной за 7 ч, и производительность труда;

$V = 7P$

4) производительность станка и время изготовления на нём 300 деталей;

$P \cdot t = 300$

5) стоимость отреза ткани и его длина при цене 120 р. за метр;

$C = 120L$

6) цена тетрадей и их количество, которые можно купить на 24 р.;

$P_{item} \cdot N = 24$

7) длина и ширина прямоугольника, площадь которого равна 60 м²;

$L \cdot W = 60$

8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация.

$m_{sub} = 200C$

Решение 2 (2023).

1) скорость и время движения на участке пути 50 км
Пусть $v$ — скорость (в км/ч), а $t$ — время (в часах). Формула, связывающая путь $S$, скорость и время, выглядит как $S = v \cdot t$.
По условию, путь $S$ является постоянной величиной и равен 50 км. Следовательно, $v \cdot t = 50$. Из этой формулы видно, что при увеличении одной величины (например, скорости $v$) другая величина (время $t$) уменьшается, чтобы их произведение оставалось постоянным. Это характеристика обратной пропорциональности.
Коэффициент пропорциональности $k$ равен значению постоянного произведения, то есть $k=50$.
Формула зависимости: $v = \frac{50}{t}$ или $t = \frac{50}{v}$.
Ответ: обратная пропорциональность, коэффициент $k=50$, формула $v = \frac{50}{t}$.

2) скорость движения и путь, пройденный за 3 ч
Пусть $S$ — пройденный путь (в км), а $v$ — скорость движения (в км/ч). Время движения $t$ постоянно и равно 3 ч. Формула пути: $S = v \cdot t$.
Подставляя постоянное значение времени, получаем $S = v \cdot 3$, или $S = 3v$. В этой зависимости отношение $\frac{S}{v} = 3$ является постоянным. При увеличении скорости $v$ в несколько раз, пройденный путь $S$ увеличивается во столько же раз. Это характеристика прямой пропорциональности.
Коэффициент пропорциональности $k$ равен постоянному отношению, то есть $k=3$.
Формула зависимости: $S = 3v$.
Ответ: прямая пропорциональность, коэффициент $k=3$, формула $S = 3v$.

3) объём работы, выполненной за 7 ч, и производительность труда
Пусть $A$ — объём работы, а $P$ — производительность труда. Время работы $t$ постоянно и равно 7 ч. Формула для объёма работы: $A = P \cdot t$.
Подставляя постоянное значение времени, получаем $A = P \cdot 7$, или $A = 7P$. Отношение $\frac{A}{P} = 7$ является постоянным. Это означает, что с ростом производительности $P$ пропорционально растёт и объём выполненной работы $A$. Это прямая пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=7$.
Формула зависимости: $A = 7P$.
Ответ: прямая пропорциональность, коэффициент $k=7$, формула $A = 7P$.

4) производительность станка и время изготовления на нём 300 деталей
Пусть $P$ — производительность станка (деталей в час), а $t$ — время изготовления (в часах). Объём работы $A$ постоянен и равен 300 деталей. Формула, связывающая эти величины: $A = P \cdot t$.
Подставляя постоянное значение объёма работы, получаем $300 = P \cdot t$. Произведение производительности и времени является постоянной величиной. Если производительность $P$ увеличить, то время $t$ для изготовления того же количества деталей уменьшится. Это обратная пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=300$.
Формула зависимости: $t = \frac{300}{P}$ или $P = \frac{300}{t}$.
Ответ: обратная пропорциональность, коэффициент $k=300$, формула $t = \frac{300}{P}$.

5) стоимость отреза ткани и его длина при цене 120 р. за метр
Пусть $C$ — стоимость отреза ткани (в рублях), а $L$ — его длина (в метрах). Цена за метр $p$ постоянна и равна 120 р. Формула для стоимости: $C = p \cdot L$.
Подставляя постоянное значение цены, получаем $C = 120 \cdot L$. Отношение $\frac{C}{L} = 120$ является постоянным. Чем больше длина ткани $L$, тем выше её стоимость $C$. Это прямая пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=120$.
Формула зависимости: $C = 120L$.
Ответ: прямая пропорциональность, коэффициент $k=120$, формула $C = 120L$.

6) цена тетрадей и их количество, которые можно купить на 24 р.
Пусть $p$ — цена одной тетради (в рублях), а $n$ — их количество. Общая сумма денег $M$ постоянна и равна 24 р. Формула: $M = p \cdot n$.
Подставляя постоянное значение суммы, получаем $24 = p \cdot n$. Произведение цены и количества является постоянной величиной. Чем выше цена тетради $p$, тем меньшее их количество $n$ можно купить на ту же сумму. Это обратная пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=24$.
Формула зависимости: $n = \frac{24}{p}$ или $p = \frac{24}{n}$.
Ответ: обратная пропорциональность, коэффициент $k=24$, формула $n = \frac{24}{p}$.

7) длина и ширина прямоугольника, площадь которого равна 60 м²
Пусть $l$ — длина, а $w$ — ширина прямоугольника (в метрах). Площадь $S$ постоянна и равна 60 м². Формула площади прямоугольника: $S = l \cdot w$.
Подставляя постоянное значение площади, получаем $60 = l \cdot w$. Произведение длины и ширины является постоянной величиной. При увеличении длины $l$ ширина $w$ должна уменьшаться, чтобы площадь оставалась неизменной. Это обратная пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=60$.
Формула зависимости: $w = \frac{60}{l}$ или $l = \frac{60}{w}$.
Ответ: обратная пропорциональность, коэффициент $k=60$, формула $w = \frac{60}{l}$.

8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация
Пусть $m$ — масса вещества (в граммах), а $c$ — его концентрация (в долях от единицы). Масса всего раствора $M$ постоянна и равна 200 г. Концентрация определяется как отношение массы вещества к массе раствора: $c = \frac{m}{M}$.
Отсюда формула для массы вещества: $m = M \cdot c$. Подставляя постоянное значение массы раствора, получаем $m = 200c$. Отношение $\frac{m}{c} = 200$ является постоянным. Чем выше концентрация $c$, тем больше масса вещества $m$ в растворе. Это прямая пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=200$.
Формула зависимости: $m = 200c$.
Ответ: прямая пропорциональность, коэффициент $k=200$, формула $m = 200c$.

Условие 2010-2022.

162 Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью. Найди коэффициент пропорциональности и запиши формулу зависимости между этими величинами:

1) скорость и время движения на участке пути 50 км;

2) скорость движения и путь, пройденный за 3 ч;

3) объем работы, выполненной за 7 ч, и производительность труда;

4) производительность станка и время изготовления на нем 300 деталей;

5) стоимость отреза ткани и его длина при цене 120 р. за метр;

6) цена тетрадей и их количество, которые можно купить на 24 р.;

7) длина и ширина прямоугольника, площадь которого равна 60 $м^2$;

8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).