Номер 167, страница 43, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 4. Пропорциональные величины. 2. Прямая и обратная пропорциональные зависимости - номер 167, страница 43.

Условие 2023.

167. Какое выражение может быть «лишним»:

1) $\frac{a}{b+c}$; $\frac{a+b}{c}$; $a : (b+c)$; $(a+b) : c$; $a + b : c$

2) $a : c - b : c$; $\frac{a-b}{c}$; $a - b : c$; $\frac{a}{c} - \frac{b}{c}$; $(a-b) : c?$

Решение 2 (2023).

1)

Для того чтобы определить "лишнее" выражение, проанализируем каждое из них, приведя их к единому виду. Знак ":" и дробная черта обозначают деление. Важно также учитывать порядок действий: деление и умножение выполняются перед сложением и вычитанием.

• $\frac{a}{b+c}$ — это частное от деления $a$ на сумму $(b+c)$.
• $\frac{a+b}{c}$ — это частное от деления суммы $(a+b)$ на $c$.
• $a:(b+c)$ — то же самое, что и $\frac{a}{b+c}$.
• $(a+b):c$ — то же самое, что и $\frac{a+b}{c}$.
• $a+b:c$ — согласно порядку действий, сначала выполняется деление $b$ на $c$, а затем сложение. Выражение равно $a + \frac{b}{c}$.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что:

• Выражения $\frac{a}{b+c}$ и $a:(b+c)$ эквивалентны.
• Выражения $\frac{a+b}{c}$ и $(a+b):c$ эквивалентны.
• Выражение $a+b:c$ (т.е. $a + \frac{b}{c}$) не эквивалентно ни одному из остальных.

Таким образом, выражение $a+b:c$ является "лишним", поскольку оно единственное, которое не образует пару эквивалентных выражений, а также по своей структуре является суммой, в то время как остальные четыре выражения представляют собой частное.

Ответ: $a+b:c$

2)

Проанализируем второй набор выражений аналогичным образом. Приведем их к единой форме записи и сравним.

• $a:c - b:c$ — разность двух частных, что равно $\frac{a}{c} - \frac{b}{c}$.
• $\frac{a-b}{c}$ — частное от деления разности $(a-b)$ на $c$.
• $a-b:c$ — согласно порядку действий, сначала выполняется деление, затем вычитание. Выражение равно $a - \frac{b}{c}$.
• $\frac{a}{c} - \frac{b}{c}$ — разность двух дробей.
• $(a-b):c$ — то же самое, что и $\frac{a-b}{c}$.

Теперь воспользуемся свойством дробей, согласно которому $\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$. Сравним все выражения:

• $a:c - b:c = \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$
• $\frac{a-b}{c}$
• $a - b:c = a - \frac{b}{c}$
• $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$
• $(a-b):c = \frac{a-b}{c}$

Видно, что первое, второе, четвертое и пятое выражения математически эквивалентны. Третье выражение, $a-b:c$, в общем случае не равно остальным. Например, при $a=10, b=4, c=2$ выражение $a-b:c = 10 - 4:2 = 10-2=8$, а выражение $(a-b):c = (10-4):2 = 6:2=3$.

Следовательно, "лишним" является выражение $a-b:c$.

Ответ: $a-b:c$

Условие 2010-2022.

167 Какое выражение может быть "лишним":

1) $\frac{a}{b + c}$; $\frac{a + b}{c}$; $a : (b + c)$; $(a + b) : c$; $a + b : c$;

2) $a : c - b : c$; $\frac{a - b}{c}$; $a - b : c$; $\frac{a}{c} - \frac{b}{c}$; $(a - b) : c$?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).