Номер 235, страница 58, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Решение задач с помощью пропорций. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 235, страница 58.

Условие 2023.

235 Бхаскара I (VI в.)

Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1 и, кроме того, делящееся на 7.

Решение 2 (2023).

Пусть искомое натуральное число — $N$.

Шаг 1: Анализ условия об остатке

По условию, число $N$ при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает в остатке 1. Это можно записать в виде системы сравнений:
$N \equiv 1 \pmod{2}$
$N \equiv 1 \pmod{3}$
$N \equiv 1 \pmod{4}$
$N \equiv 1 \pmod{5}$
$N \equiv 1 \pmod{6}$

Эта система равносильна тому, что число $(N-1)$ делится на 2, 3, 4, 5 и 6 без остатка. Следовательно, $(N-1)$ должно быть кратно наименьшему общему кратному (НОК) этих чисел.

Найдем НОК для чисел 2, 3, 4, 5, 6. Для этого разложим их на простые множители:
$2 = 2$
$3 = 3$
$4 = 2^2$
$5 = 5$
$6 = 2 \times 3$

НОК вычисляется как произведение всех простых множителей в их наивысших степенях:
НОК(2, 3, 4, 5, 6) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.

Таким образом, число $(N-1)$ должно быть кратно 60. Это можно записать в виде формулы:
$N - 1 = 60k$, где $k$ — некоторое натуральное число ($k \in \mathbb{N}$).
Отсюда следует, что искомое число $N$ имеет вид:
$N = 60k + 1$.

Шаг 2: Анализ условия о делимости на 7 и нахождение решения

По второму условию, число $N$ должно делиться на 7 без остатка. Подставим в это условие выражение для $N$, полученное на первом шаге:
$60k + 1$ должно быть кратно 7.

Запишем это в виде сравнения по модулю 7:
$60k + 1 \equiv 0 \pmod{7}$.

Упростим коэффициент 60. Разделим 60 на 7 с остатком: $60 = 8 \times 7 + 4$. Значит, $60 \equiv 4 \pmod{7}$.
Наше сравнение принимает вид:
$4k + 1 \equiv 0 \pmod{7}$
$4k \equiv -1 \pmod{7}$

Так как $-1 \equiv 6 \pmod{7}$, получаем:
$4k \equiv 6 \pmod{7}$.

Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное число $k$, которое удовлетворяет этому сравнению. Будем последовательно подставлять значения $k=1, 2, 3, ...$:
При $k=1: 4 \times 1 = 4$. $4 \not\equiv 6 \pmod{7}$.
При $k=2: 4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$.
При $k=3: 4 \times 3 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$.
При $k=4: 4 \times 4 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$.
При $k=5: 4 \times 5 = 20 \equiv 6 \pmod{7}$.

Наименьшее натуральное значение $k$, удовлетворяющее условию, — это $k=5$.

Теперь найдем искомое число $N$, подставив $k=5$ в нашу формулу $N = 60k + 1$:
$N = 60 \times 5 + 1 = 300 + 1 = 301$.

Проверим: $301 \div 7 = 43$. Число делится на 7. При делении 301 на 2, 3, 4, 5, 6 ($300$ делится на все эти числа) остаток действительно равен 1.

Ответ: 301

Условие 2010-2022.

235 Бхаскара I (VI в.)

Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1 и, кроме того, делящееся на 7.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).