Номер 231, страница 57, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Решение задач с помощью пропорций. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 231, страница 57.

Условие 2023.

231 Числитель дроби на 8 меньше знаменателя. Если числитель увеличить в 2 раза, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $ \frac{2}{3} $. На сколько данная дробь больше, чем $ \frac{1}{6} $?

Решение 2 (2023).

Обозначим знаменатель исходной дроби как $x$. По условию, числитель на 8 меньше знаменателя, следовательно, числитель равен $x - 8$. Таким образом, исходная дробь — это $\frac{x-8}{x}$.

Далее, по условию, числитель увеличили в 2 раза, то есть он стал $2(x-8)$. Знаменатель увеличили на 6, и он стал $x+6$. Получившаяся дробь равна $\frac{2}{3}$. Составим уравнение на основе этих данных:
$\frac{2(x-8)}{x+6} = \frac{2}{3}$

Решим это уравнение. Можно использовать свойство пропорции (перекрестное умножение):
$3 \cdot 2(x-8) = 2 \cdot (x+6)$
$6(x-8) = 2(x+6)$
Разделим обе части уравнения на 2:
$3(x-8) = x+6$
Раскроем скобки:
$3x - 24 = x+6$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$3x - x = 6 + 24$
$2x = 30$
$x = 15$

Итак, знаменатель исходной дроби равен 15. Найдем числитель:
$x - 8 = 15 - 8 = 7$
Следовательно, исходная дробь — это $\frac{7}{15}$.

Теперь ответим на второй вопрос задачи: на сколько данная дробь больше, чем $\frac{1}{6}$? Для этого найдем разность между ними:
$\frac{7}{15} - \frac{1}{6}$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 6 равен 30.
$\frac{7}{15} - \frac{1}{6} = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{14}{30} - \frac{5}{30} = \frac{14-5}{30} = \frac{9}{30}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{9}{30} = \frac{3}{10}$
Ответ: на $\frac{3}{10}$.

Условие 2010-2022.

231 Числитель дроби на 8 меньше знаменателя. Если числитель увеличить в 2 раза, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $\frac{2}{3}$. На сколько данная дробь больше, чем $\frac{1}{6}$?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).