Номер 232, страница 57, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Решение задач с помощью пропорций. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 232, страница 57.

Условие 2023.

232 Построй треугольник ABC и проведи в нём медианы AM и BN. Пусть O – точка пересечения медиан. Найди отношение отрезков $AO : OM$ и $BO : ON$, выполнив необходимые измерения. Повтори эксперимент ещё раз и сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведённых построений и измерений считать данное утверждение доказанным?

Решение 2 (2023).

Найди отношение отрезков AO : OM и BO : ON, выполнив необходимые измерения.

1. Построим произвольный треугольник $ABC$.
2. Проведем медиану $AM$. Для этого найдем середину стороны $BC$ (точку $M$) и соединим ее отрезком с вершиной $A$.
3. Проведем медиану $BN$. Для этого найдем середину стороны $AC$ (точку $N$) и соединим ее отрезком с вершиной $B$.
4. Обозначим точку пересечения медиан $AM$ и $BN$ буквой $O$.
5. С помощью линейки измерим длины отрезков, на которые точка $O$ делит каждую медиану. Допустим, в результате измерений мы получили следующие значения: $AO \approx 4,2$ см, $OM \approx 2,1$ см, $BO \approx 3,6$ см, $ON \approx 1,8$ см.
6. Вычислим искомые отношения:
Для медианы $AM$: $AO : OM \approx 4,2 : 2,1 = 2:1$.
Для медианы $BN$: $BO : ON \approx 3,6 : 1,8 = 2:1$.
Наши измерения показывают, что в обоих случаях отношение отрезков равно 2:1.

Ответ: $AO : OM \approx 2:1$ и $BO : ON \approx 2:1$.

Повтори эксперимент ещё раз и сформулируй гипотезу.

1. Построим второй треугольник, отличающийся по форме от первого (например, тупоугольный).
2. Аналогично первому разу, проведем в нём медианы $AM$ и $BN$ и отметим их точку пересечения $O$.
3. Выполним новые измерения. Предположим, на этот раз мы получили: $AO \approx 5,4$ см, $OM \approx 2,7$ см, $BO \approx 4,4$ см, $ON \approx 2,2$ см.
4. Найдем отношения для этого треугольника:
Для медианы $AM$: $AO : OM \approx 5,4 : 2,7 = 2:1$.
Для медианы $BN$: $BO : ON \approx 4,4 : 2,2 = 2:1$.
Результат второго эксперимента совпадает с результатом первого. На основании этих наблюдений можно сформулировать гипотезу.

Гипотеза: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Повторный эксперимент также дает отношение 2:1. Сформулированная гипотеза: точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Можно ли на основании проведённых построений и измерений считать данное утверждение доказанным?

Нет, на основании проведённых построений и измерений считать данное утверждение (гипотезу) доказанным нельзя. Экспериментальная проверка, даже многократно повторенная, не является строгим математическим доказательством по двум основным причинам:
1. Неточность измерений. Любые измерения с помощью реальных инструментов (линейки, транспортира) всегда содержат некоторую погрешность. Мы можем получить отношение, очень близкое к 2:1, но не можем быть абсолютно уверены, что оно в точности равно 2:1.
2. Рассмотрение частных случаев. Мы проверили гипотезу лишь для двух конкретных треугольников. В математике утверждение считается доказанным, только если оно справедливо для всех возможных случаев без исключения, а их бесконечное множество. Наш эксперимент не гарантирует, что не существует треугольника, для которого это свойство не выполняется.
Таким образом, эксперимент позволяет лишь выдвинуть правдоподобную гипотезу, но для её подтверждения требуется строгое логическое доказательство, основанное на аксиомах и ранее доказанных теоремах.

Ответ: Нет, нельзя, так как измерения не являются абсолютно точными и рассматривают лишь частные случаи, в то время как математическое доказательство требует строгой логики и должно быть верным для всех без исключения случаев.

Условие 2010-2022.

232 Построй треугольник $ABC$ и проведи в нем медианы $AM$ и $BN$. Пусть $O$ – точка пересечения медиан. Найди отношение отрезков $AO : OM$ и $BO : ON$, выполнив необходимые измерения. Повтори эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведенных построений и измерений считать данное утверждение доказанным?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).