Номер 255, страница 62, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 4. Пропорциональные величины. 5. Пропорциональное деление - номер 255, страница 62.

Условие 2023.

255 Раздели число $a$ на три части $a_1, a_2$ и $a_3$, если:

1) $a=75$, $a_1:a_2=3:4$ и $a_2:a_3=8:11$;

2) $a=12,3$, $a_1:a_2=2:3$ и $a_2:a_3=4:7$;

3) $a=150$, $a_1:a_2=0,8:\frac{2}{7}$ и $a_2:a_3=1,5:1,8$;

4) $a=15\frac{1}{3}$, $a_1:a_2=0,5:2$ и $a_2:a_3=0,5:\frac{1}{3}$.

Решение 2 (2023).

1) Дано: $a = 75$, $a_1 : a_2 = 3:4$ и $a_2 : a_3 = 8:11$.

Чтобы найти отношение $a_1 : a_2 : a_3$, нужно привести отношения к общему члену $a_2$. В первом отношении $a_2$ соответствует числу 4, а во втором — числу 8. Наименьшее общее кратное для 4 и 8 равно 8.

Приведем первое отношение к знаменателю 8 для второй части, домножив обе части на 2: $a_1 : a_2 = (3 \cdot 2) : (4 \cdot 2) = 6:8$.

Второе отношение уже имеет 8 для части $a_2$: $a_2 : a_3 = 8:11$.

Теперь мы можем объединить отношения: $a_1 : a_2 : a_3 = 6:8:11$.

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда $a_1 = 6k$, $a_2 = 8k$ и $a_3 = 11k$.

Сумма частей равна $a$: $a_1 + a_2 + a_3 = a$.

$6k + 8k + 11k = 75$

$25k = 75$

$k = \frac{75}{25} = 3$

Теперь найдем значения $a_1$, $a_2$ и $a_3$:

$a_1 = 6k = 6 \cdot 3 = 18$

$a_2 = 8k = 8 \cdot 3 = 24$

$a_3 = 11k = 11 \cdot 3 = 33$

Проверка: $18 + 24 + 33 = 75$.

Ответ: $a_1=18$, $a_2=24$, $a_3=33$.

2) Дано: $a = 12,3$, $a_1 : a_2 = 2:3$ и $a_2 : a_3 = 4:7$.

Приведем отношения к общему члену $a_2$. Части, соответствующие $a_2$, равны 3 и 4. Наименьшее общее кратное для 3 и 4 равно 12.

Домножим первое отношение на 4: $a_1 : a_2 = (2 \cdot 4) : (3 \cdot 4) = 8:12$.

Домножим второе отношение на 3: $a_2 : a_3 = (4 \cdot 3) : (7 \cdot 3) = 12:21$.

Объединенное отношение: $a_1 : a_2 : a_3 = 8:12:21$.

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда $a_1 = 8k$, $a_2 = 12k$ и $a_3 = 21k$.

Сумма частей: $a_1 + a_2 + a_3 = a$.

$8k + 12k + 21k = 12,3$

$41k = 12,3$

$k = \frac{12,3}{41} = 0,3$

Найдем значения частей:

$a_1 = 8k = 8 \cdot 0,3 = 2,4$

$a_2 = 12k = 12 \cdot 0,3 = 3,6$

$a_3 = 21k = 21 \cdot 0,3 = 6,3$

Проверка: $2,4 + 3,6 + 6,3 = 12,3$.

Ответ: $a_1=2,4$, $a_2=3,6$, $a_3=6,3$.

3) Дано: $a = 150$, $a_1 : a_2 = 0,8 : \frac{2}{7}$ и $a_2 : a_3 = 1,5 : 1,8$.

Сначала упростим отношения, приведя их к целым числам.

Для первого отношения: $a_1 : a_2 = 0,8 : \frac{2}{7} = \frac{8}{10} : \frac{2}{7} = \frac{4}{5} : \frac{2}{7}$. Домножим обе части на $35$ (НОК знаменателей 5 и 7): $a_1 : a_2 = (\frac{4}{5} \cdot 35) : (\frac{2}{7} \cdot 35) = 28:10$. Сократим на 2: $a_1 : a_2 = 14:5$.

Для второго отношения: $a_2 : a_3 = 1,5 : 1,8$. Домножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $a_2 : a_3 = 15:18$. Сократим на 3: $a_2 : a_3 = 5:6$.

Теперь у нас есть отношения $a_1 : a_2 = 14:5$ и $a_2 : a_3 = 5:6$. Член $a_2$ в обоих отношениях соответствует числу 5, поэтому мы можем их сразу объединить.

Объединенное отношение: $a_1 : a_2 : a_3 = 14:5:6$.

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда $a_1 = 14k$, $a_2 = 5k$ и $a_3 = 6k$.

Сумма частей: $a_1 + a_2 + a_3 = a$.

$14k + 5k + 6k = 150$

$25k = 150$

$k = \frac{150}{25} = 6$

Найдем значения частей:

$a_1 = 14k = 14 \cdot 6 = 84$

$a_2 = 5k = 5 \cdot 6 = 30$

$a_3 = 6k = 6 \cdot 6 = 36$

Проверка: $84 + 30 + 36 = 150$.

Ответ: $a_1=84$, $a_2=30$, $a_3=36$.

4) Дано: $a = 15\frac{1}{3}$, $a_1 : a_2 = 0,5:2$ и $a_2 : a_3 = 0,5 : \frac{1}{3}$.

Сначала преобразуем числа и упростим отношения. $a = 15\frac{1}{3} = \frac{46}{3}$.

Для первого отношения: $a_1 : a_2 = 0,5:2 = \frac{1}{2}:2$. Домножим на 2: $a_1 : a_2 = 1:4$.

Для второго отношения: $a_2 : a_3 = 0,5 : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$. Домножим на 6 (НОК знаменателей 2 и 3): $a_2 : a_3 = (\frac{1}{2} \cdot 6) : (\frac{1}{3} \cdot 6) = 3:2$.

Теперь приведем отношения $a_1 : a_2 = 1:4$ и $a_2 : a_3 = 3:2$ к общему члену $a_2$. Части, соответствующие $a_2$, равны 4 и 3. НОК для 4 и 3 равен 12.

Домножим первое отношение на 3: $a_1 : a_2 = (1 \cdot 3) : (4 \cdot 3) = 3:12$.

Домножим второе отношение на 4: $a_2 : a_3 = (3 \cdot 4) : (2 \cdot 4) = 12:8$.

Объединенное отношение: $a_1 : a_2 : a_3 = 3:12:8$.

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда $a_1 = 3k$, $a_2 = 12k$ и $a_3 = 8k$.

Сумма частей: $a_1 + a_2 + a_3 = a$.

$3k + 12k + 8k = \frac{46}{3}$

$23k = \frac{46}{3}$

$k = \frac{46}{3 \cdot 23} = \frac{2}{3}$

Найдем значения частей:

$a_1 = 3k = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

$a_2 = 12k = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$

$a_3 = 8k = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$

Проверка: $2 + 8 + 5\frac{1}{3} = 10 + 5\frac{1}{3} = 15\frac{1}{3}$.

Ответ: $a_1=2$, $a_2=8$, $a_3=5\frac{1}{3}$.

Условие 2010-2022.

255 Раздели число $a$ на три части $a_1, a_2$ и $a_3$, если:

1) $a=75$, $a_1 : a_2 = 3 : 4$ и $a_2 : a_3 = 8 : 11$;

2) $a=12,3$, $a_1 : a_2 = 2 : 3$ и $a_2 : a_3 = 4 : 7$;

3) $a=150$, $a_1 : a_2 = 0,8 : \frac{2}{7}$ и $a_2 : a_3 = 1,5 : 1,8$;

4) $a=15\frac{1}{3}$, $a_1 : a_2 = 0,5 : 2$ и $a_2 : a_3 = 0,5 : \frac{1}{3}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).