Номер 258, страница 62, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

5. Пропорциональное деление. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 258, страница 62.

Условие 2023.

258 1) Найди три числа, если известно, что первое число относится ко второму как $3 : 8$, второе к третьему – как $2 : 5$, а сумма первого и третьего равна $4,6$.

2) Найди три числа, если первое относится ко второму как $0,5 : 0,6$, второе к третьему – как $\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}$, а разность третьего и первого равна $5,5$.

3) Найди числа $a, b, c \text{ и } d$, если $a : b = 1 : 2$, $b : c = 3 : 4$, $c : d = 2 : 7$, а их сумма равна $90$.

4) Найди числа $a, b, c \text{ и } d$, если $a : b = \frac{3}{4} : 0,5$, $b : c = 1,2 : \frac{1}{3}$, $c : d = 5 : 2$, а их среднее арифметическое равно $1,3$.

Решение 2 (2023).

1) Обозначим три числа как $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Из условия задачи имеем два отношения: $x_1 : x_2 = 3 : 8$ и $x_2 : x_3 = 2 : 5$. Чтобы найти общее отношение $x_1 : x_2 : x_3$, приведем второе отношение к общему члену для $x_2$. Наименьшее общее кратное для членов отношения, соответствующих $x_2$ (числа 8 и 2), равно 8. Первое отношение уже содержит 8. Второе отношение $2:5$ умножим на 4: $(2 \cdot 4) : (5 \cdot 4) = 8 : 20$. Таким образом, получаем единое отношение $x_1 : x_2 : x_3 = 3 : 8 : 20$.
Это означает, что числа можно представить в виде $x_1 = 3k$, $x_2 = 8k$ и $x_3 = 20k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
По условию, сумма первого и третьего чисел равна 4,6: $x_1 + x_3 = 4.6$.
Подставим выражения через $k$: $3k + 20k = 4.6$.
$23k = 4.6$.
$k = \frac{4.6}{23} = 0.2$.
Теперь найдем сами числа:
$x_1 = 3 \cdot 0.2 = 0.6$
$x_2 = 8 \cdot 0.2 = 1.6$
$x_3 = 20 \cdot 0.2 = 4.0$
Ответ: 0,6; 1,6; 4,0.

2) Обозначим три числа как $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Из условия даны отношения $x_1 : x_2 = 0,5 : 0,6$ и $x_2 : x_3 = \frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}$.
Упростим отношения, приведя их к целым числам:
$x_1 : x_2 = 0,5 : 0,6 = 5 : 6$.
$x_2 : x_3 = \frac{2}{3} : 1\frac{1}{6} = \frac{2}{3} : \frac{7}{6}$. Умножим обе части на 6: $(\frac{2}{3} \cdot 6) : (\frac{7}{6} \cdot 6) = 4 : 7$.
Теперь у нас есть отношения $x_1 : x_2 = 5 : 6$ и $x_2 : x_3 = 4 : 7$. Найдем общее отношение $x_1 : x_2 : x_3$. Наименьшее общее кратное для членов, соответствующих $x_2$ (6 и 4), равно 12.
Приведем отношения к общему члену 12:
$x_1 : x_2 = (5 \cdot 2) : (6 \cdot 2) = 10 : 12$.
$x_2 : x_3 = (4 \cdot 3) : (7 \cdot 3) = 12 : 21$.
Общее отношение: $x_1 : x_2 : x_3 = 10 : 12 : 21$.
Представим числа как $x_1 = 10k$, $x_2 = 12k$ и $x_3 = 21k$.
По условию, разность третьего и первого равна 5,5: $x_3 - x_1 = 5.5$.
Подставим выражения через $k$: $21k - 10k = 5.5$.
$11k = 5.5$.
$k = \frac{5.5}{11} = 0.5$.
Найдем числа:
$x_1 = 10 \cdot 0.5 = 5$
$x_2 = 12 \cdot 0.5 = 6$
$x_3 = 21 \cdot 0.5 = 10.5$
Ответ: 5; 6; 10,5.

3) Нам даны отношения: $a : b = 1 : 2$, $b : c = 3 : 4$, $c : d = 2 : 7$. Найдем общее отношение $a : b : c : d$.
Сначала объединим $a:b$ и $b:c$. НОК для членов $b$ (2 и 3) равно 6.
$a : b = (1 \cdot 3) : (2 \cdot 3) = 3 : 6$.
$b : c = (3 \cdot 2) : (4 \cdot 2) = 6 : 8$.
Получаем $a : b : c = 3 : 6 : 8$.
Теперь объединим это с $c:d = 2:7$. НОК для членов $c$ (8 и 2) равно 8.
$a : b : c = 3 : 6 : 8$.
$c : d = (2 \cdot 4) : (7 \cdot 4) = 8 : 28$.
Итоговое отношение: $a : b : c : d = 3 : 6 : 8 : 28$.
Представим числа как $a = 3k, b = 6k, c = 8k, d = 28k$.
Сумма чисел равна 90: $a + b + c + d = 90$.
$3k + 6k + 8k + 28k = 90$.
$45k = 90$.
$k = \frac{90}{45} = 2$.
Найдем числа:
$a = 3 \cdot 2 = 6$
$b = 6 \cdot 2 = 12$
$c = 8 \cdot 2 = 16$
$d = 28 \cdot 2 = 56$
Ответ: $a=6$, $b=12$, $c=16$, $d=56$.

4) Даны отношения: $a : b = \frac{3}{4} : 0,5$, $b : c = 1,2 : \frac{1}{3}$, $c : d = 5 : 2$.
Упростим отношения:
$a : b = \frac{3}{4} : \frac{1}{2} = (\frac{3}{4} \cdot 4) : (\frac{1}{2} \cdot 4) = 3 : 2$.
$b : c = 1,2 : \frac{1}{3} = \frac{12}{10} : \frac{1}{3} = \frac{6}{5} : \frac{1}{3} = (\frac{6}{5} \cdot 15) : (\frac{1}{3} \cdot 15) = 18 : 5$.
$c : d = 5 : 2$.
Найдем общее отношение $a:b:c:d$. Объединим $a:b = 3:2$ и $b:c = 18:5$. НОК для $b$ (2 и 18) равно 18.
$a:b = (3 \cdot 9) : (2 \cdot 9) = 27 : 18$.
Получаем $a : b : c = 27 : 18 : 5$.
Теперь объединим это с $c:d = 5:2$. Члены для $c$ уже равны (5).
Итоговое отношение: $a : b : c : d = 27 : 18 : 5 : 2$.
Представим числа как $a=27k, b=18k, c=5k, d=2k$.
Среднее арифметическое чисел равно 1,3. Это значит, что их сумма, деленная на их количество (4), равна 1,3.
$\frac{a+b+c+d}{4} = 1.3 \implies a+b+c+d = 1.3 \cdot 4 = 5.2$.
$27k + 18k + 5k + 2k = 5.2$.
$52k = 5.2$.
$k = \frac{5.2}{52} = 0.1$.
Найдем числа:
$a = 27 \cdot 0.1 = 2.7$
$b = 18 \cdot 0.1 = 1.8$
$c = 5 \cdot 0.1 = 0.5$
$d = 2 \cdot 0.1 = 0.2$
Ответ: $a=2,7$, $b=1,8$, $c=0,5$, $d=0,2$.

Условие 2010-2022.

258 1) Найди три числа, если известно, что первое число относится ко второму как $3 : 8$, второе к третьему – как $2 : 5$, а сумма первого и третьего равна $4,6$.

2) Найди три числа, если первое относится ко второму как $0,5 : 0,6$, второе к третьему – как $\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}$, а разность третьего и первого равна $5,5$.

3) Найди числа $a, b, c$ и $d$, если $a : b = 1 : 2$, $b : c = 3 : 4$, $c : d = 2 : 7$, а их сумма равна $90$.

4) Найди числа $a, b, c$ и $d$, если $a : b = \frac{3}{4} : 0,5$, $b : c = 1,2 : \frac{1}{3}$, $c : d = 5 : 2$, а их среднее арифметическое равно $1,3$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).