Номер 259, страница 62, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 4. Пропорциональные величины. 5. Пропорциональное деление - номер 259, страница 62.

Условие 2023.

259. Трём победителям соревнований по большому теннису присуждены денежные премии общей суммой 15 млн р. При этом вторая премия составила 60 % первой и относится к третьей как $1 : \frac{2}{3}$. Чему равны размеры этих премий?

Решение 2 (2023).

Для решения задачи обозначим размеры первой, второй и третьей премий как $П_1$, $П_2$ и $П_3$ соответственно. Все расчеты будем вести в миллионах рублей.

Из условия задачи нам известно:

1. Общая сумма премий: $П_1 + П_2 + П_3 = 15$
2. Вторая премия составляет 60% от первой: $П_2 = 0.6 \cdot П_1$
3. Вторая премия относится к третьей как $1 : \frac{2}{3}$: $\frac{П_2}{П_3} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Наша цель — найти значения $П_1$, $П_2$ и $П_3$. Для этого выразим все переменные через одну, например, через $П_1$.

Из второго условия у нас уже есть выражение: $П_2 = 0.6 \cdot П_1$.

Теперь поработаем с третьим условием, чтобы выразить $П_3$ через $П_1$. Сначала упростим отношение:

$\frac{П_2}{П_3} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Из этого соотношения получаем: $2 \cdot П_2 = 3 \cdot П_3$, откуда $П_3 = \frac{2}{3} \cdot П_2$.

Теперь подставим в это выражение значение $П_2$ из второго условия ($П_2 = 0.6 \cdot П_1$):

$П_3 = \frac{2}{3} \cdot (0.6 \cdot П_1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{10} \cdot П_1 = \frac{12}{30} \cdot П_1 = \frac{2}{5} \cdot П_1 = 0.4 \cdot П_1$

Теперь у нас все три премии выражены через $П_1$:

• $П_1$
• $П_2 = 0.6 \cdot П_1$
• $П_3 = 0.4 \cdot П_1$

Подставим эти выражения в первое уравнение (общая сумма премий):

$П_1 + 0.6 \cdot П_1 + 0.4 \cdot П_1 = 15$

Сложим коэффициенты при $П_1$:

$П_1 \cdot (1 + 0.6 + 0.4) = 15$

$2 \cdot П_1 = 15$

$П_1 = \frac{15}{2} = 7.5$

Итак, первая премия составляет 7,5 млн рублей.

Теперь найдем размеры второй и третьей премий:

$П_2 = 0.6 \cdot П_1 = 0.6 \cdot 7.5 = 4.5$ млн рублей.

$П_3 = 0.4 \cdot П_1 = 0.4 \cdot 7.5 = 3$ млн рублей.

Проверим, что общая сумма сходится: $7.5 + 4.5 + 3 = 12 + 3 = 15$ млн рублей. Условие выполняется.

Ответ: размеры премий равны 7,5 млн р., 4,5 млн р. и 3 млн р.

Условие 2010-2022.

259 Трем победителям соревнований по большому теннису присуждены денежные премии общей суммой 15 млн. р. При этом вторая премия составила 60% первой и относится к третьей как $1 : \frac{2}{3}$. Чему равны размеры этих премий?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).