Номер 322, страница 75, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 1. Понятие рационального числа. 1. Положительные и отрицательные числа - номер 322, страница 75.

Условие 2023.

322 1) Моторная лодка прошла по течению реки 9,6 км за $\frac{3}{4}$ ч, а против течения это же расстояние она шла на 35 мин дольше. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?

2) Собственная скорость катера в 8 раз больше скорости течения реки. Двигаясь против течения, катер прошёл 21 км за 1 ч 15 мин. На сколько километров больше пройдёт он за то же время, двигаясь по течению реки? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Решение 2 (2023).

1)

Пусть $v_с$ — собственная скорость моторной лодки (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч). Тогда скорость лодки по течению равна $v_с + v_т$, а скорость против течения — $v_с - v_т$.

Расстояние $S$ равно $9,6$ км. Время движения по течению $t_{по} = \frac{3}{4}$ ч, что равно $0,75$ ч. Найдем скорость движения лодки по течению: $v_{по} = \frac{S}{t_{по}} = \frac{9,6}{0,75} = 12,8$ км/ч. Таким образом, мы получаем первое уравнение: $v_с + v_т = 12,8$.

По условию, на путь против течения лодка затратила на 35 минут больше. Переведем 35 минут в часы: $35 \text{ мин} = \frac{35}{60} \text{ ч} = \frac{7}{12}$ ч. Время движения по течению в долях часа: $t_{по} = \frac{3}{4} \text{ ч} = \frac{9}{12}$ ч. Следовательно, время движения против течения составляет: $t_{против} = t_{по} + \frac{7}{12} = \frac{9}{12} + \frac{7}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$ ч.

Теперь найдем скорость движения лодки против течения: $v_{против} = \frac{S}{t_{против}} = \frac{9,6}{4/3} = \frac{9,6 \cdot 3}{4} = 2,4 \cdot 3 = 7,2$ км/ч. Таким образом, мы получаем второе уравнение: $v_с - v_т = 7,2$.

Решим систему из двух полученных уравнений: $ \begin{cases} v_с + v_т = 12,8 \\ v_с - v_т = 7,2 \end{cases} $ Сложив два уравнения, получим: $(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 12,8 + 7,2$ $2v_с = 20$ $v_с = 10$ км/ч.

Подставим найденное значение $v_с$ в первое уравнение, чтобы найти $v_т$: $10 + v_т = 12,8$ $v_т = 12,8 - 10 = 2,8$ км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки равна 10 км/ч, а скорость течения реки — 2,8 км/ч.

2)

Пусть $v_к$ — собственная скорость катера, а $v_т$ — скорость течения реки. Согласно условию задачи, $v_к = 8v_т$.

Выразим скорость катера против течения и по течению через скорость течения: Скорость против течения: $v_{против} = v_к - v_т = 8v_т - v_т = 7v_т$. Скорость по течению: $v_{по} = v_к + v_т = 8v_т + v_т = 9v_т$.

За одно и то же время ($t$) пройденные расстояния ($S_{по}$ и $S_{против}$) относятся так же, как и скорости движения: $\frac{S_{по}}{S_{против}} = \frac{v_{по} \cdot t}{v_{против} \cdot t} = \frac{v_{по}}{v_{против}} = \frac{9v_т}{7v_т} = \frac{9}{7}$

В условии сказано, что расстояние, пройденное против течения, $S_{против} = 21$ км. Используя найденное соотношение, найдем расстояние, которое катер пройдет по течению за то же время: $S_{по} = \frac{9}{7} \cdot S_{против} = \frac{9}{7} \cdot 21 = 9 \cdot 3 = 27$ км.

Теперь вычислим, на сколько километров больше катер пройдёт по течению, чем против течения: $\Delta S = S_{по} - S_{против} = 27 - 21 = 6$ км.

Теперь ответим на второй вопрос: есть ли лишнее данное в условии этой задачи? Для нахождения разницы в расстоянии мы использовали только соотношение скоростей ($v_к = 8v_т$) и расстояние, пройденное против течения (21 км). Время движения (1 ч 15 мин) не потребовалось для вычислений. Следовательно, это данное является избыточным.

Ответ: по течению реки катер пройдёт на 6 км больше; да, в условии есть лишнее данное — время движения 1 ч 15 мин.

Условие 2010-2022.

322 1) Моторная лодка прошла по течению реки 9,6 км за $3/4$ ч, а против течения это же расстояние она шла на 35 мин дольше. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?

2) Собственная скорость катера в 8 раз больше скорости течения реки. Двигаясь против течения, катер прошел 21 км за 1 ч 15 мин. На сколько километров больше пройдет он за то же время, двигаясь по течению реки? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).