Номер 358, страница 81, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 1. Понятие рационального числа. 2. Противоположные числа и модуль - номер 358, страница 81.

Условие 2023.

358 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: |-a| = |a|;$

2) $\exists a \in Q: |-a| = -|a|;$

3) $\forall a \in Q: |a| > 0;$

4) $\exists a \in Q: |a| \le 0.$

Решение 2 (2023).

1) $ \forall a \in Q: |-a| = |a| $

Это высказывание утверждает, что для любого рационального числа $a$ модуль числа $-a$ равен модулю числа $a$. По определению, модуль (абсолютная величина) числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой. Числа $a$ и $-a$ всегда находятся на одинаковом расстоянии от нуля, поэтому их модули равны. Это свойство верно для всех действительных чисел, а значит, и для всех рациональных чисел. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

2) $ \exists a \in Q: |-a| = -|a| $

Это высказывание утверждает, что существует хотя бы одно рациональное число $a$, для которого выполняется равенство $|-a| = -|a|$. Так как $|-a| = |a|$, мы можем переписать равенство как $|a| = -|a|$. Перенеся $-|a|$ в левую часть, получим $|a| + |a| = 0$, или $2|a| = 0$, что равносильно $|a| = 0$. Единственное число, модуль которого равен нулю, — это само число ноль, то есть $a=0$. Поскольку $0$ является рациональным числом ($0 \in Q$), такое число существует. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

3) $ \forall a \in Q: |a| > 0 $

Это высказывание утверждает, что модуль любого рационального числа строго больше нуля. Однако, если мы возьмем рациональное число $a=0$, то его модуль $|0|=0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным. Поскольку мы нашли хотя бы одно рациональное число (контрпример), для которого утверждение не выполняется, данное высказывание ложно.
Построим отрицание ложного высказывания. Отрицанием для высказывания с квантором всеобщности "$ \forall a: P(a) $" является высказывание с квантором существования "$ \exists a: \neg P(a) $". Отрицанием условия $|a|>0$ является условие $|a| \le 0$. Таким образом, отрицание исходного высказывания выглядит так: $ \exists a \in Q: |a| \le 0 $.
Ответ: ложно. Отрицание: $ \exists a \in Q: |a| \le 0 $.

4) $ \exists a \in Q: |a| \le 0 $

Это высказывание утверждает, что существует рациональное число $a$, модуль которого меньше или равен нулю. По определению, модуль любого числа всегда неотрицателен, то есть $|a| \ge 0$ для любого $a$. Единственное число, которое удовлетворяет одновременно двум условиям, $|a| \ge 0$ и $|a| \le 0$, — это число, для которого $|a|=0$. Это равенство выполняется при $a=0$. Поскольку $0$ является рациональным числом ($0 \in Q$), такое число существует. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

Условие 2010-2022.

358 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $ \forall a \in Q: |-a| = |a|; $

2) $ \exists a \in Q: |-a| = -|a|; $

3) $ \forall a \in Q: |a| > 0; $

4) $ \exists a \in Q: |a| \le 0. $

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).