Номер 471, страница 104, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 1. Сложение рациональных чисел. Алгебраическая сумма - номер 471, страница 104.

Условие 2023.

471 В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AD$ равна 20 см, а сторона $AB$ на 60 % больше стороны $AD$. Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $4:1$, считая от вершины $A$. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок $MD$ делит прямоугольник $ABCD$? Найди лишние данные в условии этой задачи.

Решение 2 (2023).

Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD?

Отрезок $MD$ делит прямоугольник $ABCD$ на две фигуры: треугольник $AMD$ и трапецию $MBCD$.

1. Обозначим длины сторон прямоугольника как $AD = h$ и $AB = w$. Площадь всего прямоугольника равна $S_{ABCD} = w \times h$.

2. Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $4:1$, считая от вершины $A$. Это означает, что отрезок $AB$ можно разделить на $4+1=5$ равных частей. Тогда длина отрезка $AM$ составляет 4 части, а $MB$ – 1 часть.

$AM = \frac{4}{5} AB = \frac{4}{5}w$

$MB = \frac{1}{5} AB = \frac{1}{5}w$

3. Найдем площадь треугольника $AMD$. Это прямоугольный треугольник с катетами $AM$ и $AD$.

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \times AM \times AD = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5}w) \times h = \frac{4}{10}wh = \frac{2}{5}wh$

4. Найдем площадь трапеции $MBCD$. Это прямоугольная трапеция с основаниями $MB$ и $CD$ и высотой $BC$. В прямоугольнике $CD = AB = w$ и $BC = AD = h$.

$S_{MBCD} = \frac{MB + CD}{2} \times BC = \frac{\frac{1}{5}w + w}{2} \times h = \frac{\frac{6}{5}w}{2} \times h = \frac{3}{5}wh$

Также площадь трапеции можно было найти, вычитая площадь треугольника из площади прямоугольника:

$S_{MBCD} = S_{ABCD} - S_{AMD} = wh - \frac{2}{5}wh = \frac{3}{5}wh$

5. Теперь найдем отношение площадей этих двух фигур:

$\frac{S_{AMD}}{S_{MBCD}} = \frac{\frac{2}{5}wh}{\frac{3}{5}wh} = \frac{2}{3}$

Таким образом, площади фигур относятся как 2:3.

Ответ: 2:3.

Найди лишние данные в условии этой задачи.

Как видно из решения выше, для нахождения отношения площадей нам не потребовались конкретные значения длин сторон прямоугольника. Отношение зависит только от того, в какой пропорции точка $M$ делит сторону $AB$. Выражения $w$ и $h$ (длины сторон) сократились при вычислении итогового отношения.

Следовательно, лишними данными являются:

• длина стороны $AD$, равная 20 см;
• тот факт, что сторона $AB$ на 60% больше стороны $AD$.

Ответ: длина стороны $AD$ (20 см) и тот факт, что сторона $AB$ на 60% больше стороны $AD$.

Условие 2010-2022.

471 В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AD$ равна 20 см, а сторона $AB$ на 60% больше стороны $AD$. Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении 4 : 1, считая от вершины $A$. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок $MD$ делит прямоугольник $ABCD$? Найди лишние данные в условии этой задачи.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).