Номер 490, страница 109, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 2. Вычитание рациональных чисел - номер 490, страница 109.

Условие 2023.

Π 490 Индийские математики в древности трактовали положительные числа как «имущества», а отрицательные числа – как «долги».

Вот как в рукописях VII в. излагались правила сложения и вычитания:

«Сумма двух имуществ есть имущество»

$\text{Если } a > 0 \text{ и } b > 0, \text{ то } a+b > 0$

«Сумма двух долгов есть долг»

$\text{Если } a < 0 \text{ и } b < 0, \text{ то } a+b < 0$

«Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества»

$\text{Если } a > 0 \text{ и } b < 0, \text{ то } a+b = a - |b|$

Переведи эти древнеиндийские правила на современный математический язык.

Решение 2 (2023).

Для перевода древнеиндийских правил на современный математический язык введем следующие обозначения: «имущество» — это положительное число, «долг» — это отрицательное число. Пусть $a$ и $b$ — это величины этих имуществ и долгов, то есть произвольные положительные числа ($a > 0, b > 0$).

«Сумма двух имуществ есть имущество»

Это правило описывает сложение двух положительных чисел. Если мы складываем одно «имущество» ($a$) и другое «имущество» ($b$), то их сумма ($a + b$) также будет положительным числом, то есть «имуществом», так как сумма двух положительных чисел всегда положительна.

Ответ: Если $a > 0$ и $b > 0$, то $a + b > 0$.

«Сумма двух долгов есть долг»

Это правило описывает сложение двух отрицательных чисел. «Долги» можно представить как $-a$ и $-b$. Их сумма равна $(-a) + (-b) = -(a+b)$. Так как $a+b$ — положительное число, то $-(a+b)$ — отрицательное, то есть «долг». В более общем виде: если взять два любых отрицательных числа, их сумма также будет отрицательным числом.

Ответ: Если $x < 0$ и $y < 0$, то $x + y < 0$.

«Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества»

Это правило объясняет, как складывать положительное и отрицательное число. Разберем фразу на современном языке, используя «имущество» $a$ и «долг» $-b$.
«Сумма имущества и долга» — это математическое выражение $a + (-b)$.
«Разность имущества и противоположного долгу имущества» — здесь «имущество» это $a$. «Противоположное долгу $(-b)$» — это число $b$, которое является положительным, то есть «имуществом». Следовательно, эта часть фразы означает разность $a - b$.
Таким образом, всё правило целиком переводится в тождество, которое является правилом сложения отрицательного числа в современной алгебре: чтобы к числу прибавить отрицательное число, нужно из него вычесть соответствующее положительное.

Ответ: $a + (-b) = a - b$.

Условие 2010-2022.

Π 490 Индийские математики в древности трактовали положительные числа как “имущества”, а отрицательные числа — как “долги”. Вот как в рукописях VII в. излагались правила сложения и вычитания: “Сумма двух имуществ есть имущество”, “Сумма двух долгов есть долг”, “Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества”. Переведи эти древнеиндийские правила на современный математический язык.

Правило 1:

Сумма двух имуществ есть имущество.

Если $a \gt 0$ и $b \gt 0$, то $a + b \gt 0$.

Правило 2:

Сумма двух долгов есть долг.

Если $a \lt 0$ и $b \lt 0$, то $a + b \lt 0$.

Правило 3:

Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества.

Если $a \gt 0$ (имущество) и $b \lt 0$ (долг), то $a + b = a - |b|$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).