Номер 195, страница 43, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 4. Координатная плоскость. 1. Прямоугольные координаты на плоскости - номер 195, страница 43.

Условие 2023.

195 Определи вид зависимости между величинами и реши задачи:

a) Тракторист должен был вспахать поле за 5 дней. Но он обрабатывал в день на 2 га больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на день раньше. Чему равна площадь поля, если тракторист работал равномерно?

b) Пешеход за 40 мин прошёл 30 % всего пути, а ещё через час ему осталось пройти всего 3 км. С какой скоростью он шёл, если скорость его была постоянной?

Решение 2 (2023).

В задаче а) рассматривается зависимость между производительностью труда (площадь, вспахиваемая за день) и временем выполнения работы. При неизменном общем объёме работы (площадь поля) эти величины являются обратно пропорциональными: чем выше производительность, тем меньше времени требуется для выполнения работы.

В задаче б) рассматривается зависимость между расстоянием и временем при постоянной скорости. Эти величины являются прямо пропорциональными: чем больше времени движется пешеход, тем большее расстояние он проходит.

а)

Пусть $x$ га/день — это запланированная производительность тракториста. По плану он должен был работать 5 дней, следовательно, площадь поля $S$ можно выразить как:
$S = 5x$

Фактически тракторист обрабатывал на 2 га в день больше, то есть его производительность была $(x + 2)$ га/день. Он закончил работу на день раньше, то есть за $5 - 1 = 4$ дня. Значит, площадь поля $S$ также можно выразить как:
$S = 4(x + 2)$

Так как площадь поля не менялась, приравняем два полученных выражения:
$5x = 4(x + 2)$
$5x = 4x + 8$
$5x - 4x = 8$
$x = 8$

Мы нашли запланированную производительность — 8 га/день. Теперь рассчитаем площадь поля, используя любую из формул:
$S = 5 \cdot 8 = 40$ га.

Ответ: 40 га.

б)

Пусть $S$ км — это длина всего пути, а $v$ км/ч — постоянная скорость пешехода.

За первые 40 минут ($40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$) пешеход прошёл 30% пути, то есть расстояние $0.3S$ км. Скорость пешехода $v$ можно выразить через эти величины:
$v = \frac{0.3S}{2/3}$

Через ещё один час общее время в пути составило $40 \text{ мин} + 1 \text{ ч} = 100 \text{ мин}$. Переведём это время в часы: $100 \text{ мин} = \frac{100}{60} \text{ ч} = \frac{5}{3} \text{ ч}$. За это время ему осталось пройти 3 км, значит, он преодолел расстояние $(S - 3)$ км. Выразим скорость $v$ через эти новые данные:
$v = \frac{S - 3}{5/3}$

Поскольку скорость была постоянной, мы можем приравнять два выражения для $v$:
$\frac{0.3S}{2/3} = \frac{S - 3}{5/3}$

Решим это уравнение. Для начала "перевернём" дроби в знаменателях:
$0.3S \cdot \frac{3}{2} = (S - 3) \cdot \frac{3}{5}$
Можно умножить обе части на $\frac{1}{3}$:
$\frac{0.3S}{2} = \frac{S - 3}{5}$
Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрёстное умножение):
$5 \cdot 0.3S = 2 \cdot (S - 3)$
$1.5S = 2S - 6$
$6 = 2S - 1.5S$
$6 = 0.5S$
$S = \frac{6}{0.5} = 12$ км.

Общая длина пути составляет 12 км. Теперь найдём скорость, подставив значение $S$ в одно из выражений для $v$:
$v = \frac{12 - 3}{5/3} = \frac{9}{5/3} = 9 \cdot \frac{3}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$ км/ч.

Ответ: 5,4 км/ч.

Условие 2010-2022.

195 Определи вид зависимости между величинами и реши задачи:

а) Тракторист должен был вспахать поле за 5 дней. Но он обрабатывал в день на 2 га больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на день раньше.
Чему равна площадь поля, если тракторист работал равномерно?

б) Пешеход за 40 мин прошел 30% всего пути, а еще через час ему осталось пройти всего 3 км. С какой скоростью он шел, если скорость его была постоянной?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).