Номер 230, страница 49, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Графики зависимостей величин. Параграф 4. Координатная плоскость. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 230, страница 49.

Условие 2023.

C 230* Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, что $0 < \frac{m}{13} - \frac{n}{8} < 0,01$?

А если 0,01 заменить на 0,005?

Решение 2 (2023).

Рассмотрим данное двойное неравенство: $0 < \frac{m}{13} - \frac{n}{8} < 0,01$.

Приведем дроби в средней части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 13 и 8 равен $13 \cdot 8 = 104$.

Неравенство примет вид: $0 < \frac{8m}{104} - \frac{13n}{104} < 0,01$

$0 < \frac{8m - 13n}{104} < 0,01$

Умножим все части неравенства на 104, чтобы избавиться от знаменателя.

$0 \cdot 104 < 8m - 13n < 0,01 \cdot 104$

$0 < 8m - 13n < 1,04$

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, то и выражение $8m - 13n$ является целым числом. Единственное целое число, которое находится в интервале $(0; 1,04)$ — это число 1.

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти, существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, для которых выполняется равенство:

$8m - 13n = 1$

Это линейное диофантово уравнение. Так как наибольший общий делитель коэффициентов при $m$ и $n$, $\text{НОД}(8, 13) = 1$, а 1 делится на 1, уравнение имеет решения в целых числах. Найдем одно из них подбором.

$8m = 13n + 1$

Переберем несколько натуральных значений $n$:

• Если $n=1$, то $13 \cdot 1 + 1 = 14$, не делится на 8.
• Если $n=2$, то $13 \cdot 2 + 1 = 27$, не делится на 8.
• Если $n=3$, то $13 \cdot 3 + 1 = 40$. $40 = 8 \cdot 5$. Отсюда $m=5$.

Мы нашли пару натуральных чисел $m=5$ и $n=3$, которые удовлетворяют уравнению $8m - 13n = 1$. Следовательно, для этих чисел выполняется и исходное неравенство.

Проверим: $\frac{5}{13} - \frac{3}{8} = \frac{40 - 39}{104} = \frac{1}{104}$.

$0 < \frac{1}{104} < 0,01 \iff 0 < 1 < 1,04$. Неравенство верное.

Ответ: Да, существуют. Например, $m=5$ и $n=3$.

А если 0,01 заменить на 0,005?

В этом случае исходное неравенство будет выглядеть так:

$0 < \frac{m}{13} - \frac{n}{8} < 0,005$

Выполнив те же преобразования, что и в первом пункте, получим:

$0 < 8m - 13n < 0,005 \cdot 104$

$0 < 8m - 13n < 0,52$

Выражение $8m - 13n$ должно быть целым числом. Однако в интервале $(0; 0,52)$ нет ни одного целого числа.

Следовательно, не существует таких целых (а значит, и натуральных) чисел $m$ и $n$, которые удовлетворяли бы этому неравенству.

Ответ: Нет, не существуют.

Условие 2010-2022.

c 230

Существуют ли такие натуральные числа m и n, что $0 < \frac{m}{13} - \frac{n}{8} < 0,01$.

А если 0,01 заменить на 0,005?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).