Номер 237, страница 52, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Понятие логического следования. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 237, страница 52.

Условие 2023.

237 Пусть A – множество чисел, кратных 5, B – множество чисел, кратных 10, C – множество чисел, кратных 3, и D – множество чисел, кратных 9. На диаграмме Эйлера – Венна точками обозначены элементы множеств A, B, C и D, являющиеся трёхзначными числами. Придай возможные значения переменным a, b, c, d, e, f и g.

a

$a = 115$

b

$b = 100$

c

$c = 120$

d

$d = 180$

e

$e = 135$

f

$f = 102$

g

$g = 108$

Решение 2 (2023).

Сначала определим свойства чисел для каждой области на диаграмме Эйлера-Венна. Согласно условию, все искомые числа должны быть трёхзначными (находиться в диапазоне от 100 до 999).

• $A$ — множество чисел, кратных 5.
• $B$ — множество чисел, кратных 10.
• $C$ — множество чисел, кратных 3.
• $D$ — множество чисел, кратных 9.

Важно заметить, что любое число, кратное 10, также кратно и 5, поэтому множество $B$ является подмножеством множества $A$ ($B \subset A$). Аналогично, любое число, кратное 9, также кратно и 3, поэтому $D \subset C$. Это отражено на диаграмме, где эллипс B полностью находится внутри эллипса A, а эллипс D — внутри эллипса C.

a
Число $a$ находится в множестве $A$, но не принадлежит множествам $B$, $C$ и $D$.

• $a \in A \implies$ число $a$ кратно 5.
• $a \notin B \implies$ число $a$ не кратно 10. Из этого следует, что число $a$ должно оканчиваться на 5.
• $a \notin C \implies$ число $a$ не кратно 3. Это означает, что сумма его цифр не делится на 3.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 115. Оно оканчивается на 5. Сумма его цифр $1+1+5=7$, что не делится на 3.
Ответ: $a=115$.

b
Число $b$ находится в множестве $B$, но не принадлежит множествам $C$ и $D$.

• $b \in B \implies$ число $b$ кратно 10 (и, следовательно, кратно 5, то есть $b \in A$).
• $b \notin C \implies$ число $b$ не кратно 3. Сумма его цифр не делится на 3.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 100. Оно кратно 10. Сумма его цифр $1+0+0=1$, что не делится на 3.
Ответ: $b=100$.

c
Число $c$ находится в пересечении множеств $B$ и $C$, но не принадлежит множеству $D$.

• $c \in B \implies$ число $c$ кратно 10.
• $c \in C \implies$ число $c$ кратно 3.
• Из двух предыдущих пунктов следует, что $c$ кратно наименьшему общему кратному чисел 10 и 3, то есть $c$ кратно 30.
• $c \notin D \implies$ число $c$ не кратно 9. Сумма его цифр делится на 3, но не делится на 9.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 120. Оно кратно 30. Сумма его цифр $1+2+0=3$. Число 3 делится на 3, но не на 9.
Ответ: $c=120$.

d
Число $d$ находится в пересечении множеств $B$ и $D$.

• $d \in B \implies$ число $d$ кратно 10.
• $d \in D \implies$ число $d$ кратно 9 (и, следовательно, кратно 3, то есть $d \in C$).
• Следовательно, $d$ кратно наименьшему общему кратному чисел 10 и 9, то есть $d$ кратно 90.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 180. Оно является кратным 90.
Ответ: $d=180$.

e
Число $e$ находится в пересечении множеств $A$ и $C$, но не принадлежит множествам $B$ и $D$.

• $e \in A \implies$ число $e$ кратно 5.
• $e \in C \implies$ число $e$ кратно 3.
• Следовательно, $e$ кратно наименьшему общему кратному чисел 5 и 3, то есть $e$ кратно 15.
• $e \notin B \implies$ число $e$ не кратно 10. Значит, оно должно оканчиваться на 5.
• $e \notin D \implies$ число $e$ не кратно 9. Сумма его цифр делится на 3, но не на 9.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 105. Оно кратно 15 и оканчивается на 5. Сумма его цифр $1+0+5=6$. Число 6 делится на 3, но не на 9.
Ответ: $e=105$.

f
Число $f$ находится в множестве $D$, но не принадлежит множеству $A$.

• $f \in D \implies$ число $f$ кратно 9 (и, следовательно, кратно 3, то есть $f \in C$).
• $f \notin A \implies$ число $f$ не кратно 5. Значит, оно не может оканчиваться на 0 или 5.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 108. Оно кратно 9 (сумма цифр $1+0+8=9$). Оно оканчивается на 8, то есть не кратно 5.
Ответ: $f=108$.

g
Число $g$ находится в множестве $C$, но не принадлежит множествам $A$ и $D$.

• $g \in C \implies$ число $g$ кратно 3.
• $g \notin D \implies$ число $g$ не кратно 9. Сумма его цифр делится на 3, но не на 9.
• $g \notin A \implies$ число $g$ не кратно 5. Значит, оно не может оканчиваться на 0 или 5.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 102. Сумма его цифр $1+0+2=3$. Число 3 делится на 3, но не на 9. Число 102 не оканчивается на 0 или 5.
Ответ: $g=102$.

Условие 2010-2022.

237 Пусть $A$ – множество чисел, кратных $5$, $B$ – множество чисел, кратных $10$, $C$ – множество чисел, кратных $3$, и $D$ – множество чисел, кратных $9$.

На диаграмме Эйлера-Венна точками обозначены элементы множеств $A$, $B$, $C$ и $D$, являющиеся трехзначными числами. Придай возможные значения переменным $a, b, c, d, e, f$ и $g$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).