Номер 242, страница 53, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 5. Логическое следование. 1. Понятие логического следования - номер 242, страница 53.

Условие 2023.

242 Запиши высказывание на математическом языке с помощью знака $ \Rightarrow $, подчеркни условие одной чертой, а заключение – двумя. Найди ложные высказывания. Как их опровергнуть?

а) Произведение двух отрицательных чисел положительно.

б) Сумма двух правильных дробей является правильной дробью.

в) Разность двух целых чисел является целым числом.

г) Частное двух рациональных чисел – число рациональное.

Решение 2 (2023).

а) Чтобы выделить условие (подчеркнуто одной чертой) и заключение (подчеркнуто двумя чертами), перефразируем высказывание в условную форму: "Если два числа являются отрицательными, то их произведение является положительным".
Запись на математическом языке, где $a$ и $b$ — два числа: $(a < 0 \text{ и } b < 0) \Rightarrow (a \cdot b > 0)$.
Это высказывание истинное, так как произведение двух чисел с одинаковыми знаками всегда положительно.
Ответ: $(a < 0 \text{ и } b < 0) \Rightarrow (a \cdot b > 0)$. Высказывание истинное.

б) Перефразируем высказывание: "Если две дроби являются правильными, то их сумма является правильной дробью".
Запись на математическом языке (для положительных правильных дробей $x$ и $y$): $(0 < x < 1 \text{ и } 0 < y < 1) \Rightarrow (x + y < 1)$.
Это высказывание ложное. Чтобы его опровергнуть, нужно привести контрпример — случай, когда условие выполняется (берутся две правильные дроби), а заключение нет (сумма оказывается неправильной дробью).
Например, возьмем две правильные дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$. Их сумма: $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$. Дробь $\frac{5}{4}$ является неправильной, так как она больше 1. Таким образом, утверждение опровергнуто.
Ответ: Высказывание ложное. Опровергнуть его можно контрпримером: $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$ — правильные дроби, но их сумма $\frac{5}{4}$ — неправильная дробь.

в) Перефразируем высказывание: "Если два числа являются целыми, то их разность является целым числом".
Запись на математическом языке ($a, b \in \mathbb{Z}$ означает, что $a$ и $b$ — целые числа): $(a \in \mathbb{Z} \text{ и } b \in \mathbb{Z}) \Rightarrow (a - b \in \mathbb{Z})$.
Это высказывание истинное. Множество целых чисел является замкнутым относительно операции вычитания (разность любых двух целых чисел всегда будет целым числом).
Ответ: $(a \in \mathbb{Z} \text{ и } b \in \mathbb{Z}) \Rightarrow (a - b \in \mathbb{Z})$. Высказывание истинное.

г) Перефразируем высказывание: "Если два числа являются рациональными, то их частное является рациональным числом".
Запись на математическом языке ($a, b \in \mathbb{Q}$ означает, что $a$ и $b$ — рациональные числа): $(a \in \mathbb{Q} \text{ и } b \in \mathbb{Q}) \Rightarrow (\frac{a}{b} \in \mathbb{Q})$.
Это высказывание ложное. Оно неверно, потому что не учитывает случай деления на ноль. Ноль — это рациональное число ($0 = \frac{0}{1}$).
Чтобы опровергнуть утверждение, приведем контрпример. Возьмем два рациональных числа: $a = 5$ и $b = 0$. Частное $\frac{a}{b} = \frac{5}{0}$ не определено, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, результат не является рациональным числом.
Ответ: Высказывание ложное. Опровержение (контрпример): числа 5 и 0 являются рациональными, но их частное $\frac{5}{0}$ не определено.

Условие 2010-2022.

D 242 Запиши высказывание на математическом языке с помощью знака $\Rightarrow$, подчеркни условие одной чертой, а заключение – двумя. Найди ложные высказывания. Как их опровергнуть?

а) Произведение двух отрицательных чисел положительно.

б) Сумма двух правильных дробей является правильной дробью.

в) Разность двух целых чисел является целым числом.

г) Частное двух рациональных чисел – число рациональное.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).