Номер 249, страница 55, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Отрицание следования. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 249, страница 55.

Условие 2023.

249 Запиши высказывания на математическом языке с помощью знака $\Rightarrow$. Найди ложные высказывания, построй отрицания и обоснуй их истинность.

а) Если первое число меньше второго, а второе – меньше третьего, то первое число меньше третьего. $(A < B \land B < C) \Rightarrow (A < C)$

б) Если первое число на 5 меньше второго, а второе – на 5 меньше третьего, то первое число на 5 меньше третьего. $(A = B - 5 \land B = C - 5) \Rightarrow (A = C - 5)$

в) Если первое число кратно второму, а второе – кратно третьему, то первое число кратно третьему. $(B \mid A \land C \mid B) \Rightarrow (C \mid A)$

г) Если первое число в 2 раза больше второго, а второе – в 2 раза больше третьего, то первое число в 2 раза больше третьего. $(A = 2B \land B = 2C) \Rightarrow (A = 2C)$

Что ты замечаешь?

Решение 2 (2023).

Обозначим первое число как $a$, второе как $b$, и третье как $c$.

а) Если первое число меньше второго, а второе — меньше третьего, то первое число меньше третьего.

Запись на математическом языке: $(a < b \text{ и } b < c) \Rightarrow a < c$.

Это высказывание является свойством транзитивности для отношения "меньше". Оно всегда истинно для любых чисел $a, b, c$. Например, если $a=2, b=5, c=10$, то $2 < 5$ и $5 < 10$, из чего следует, что $2 < 10$. Таким образом, высказывание истинно.

Ответ: Высказывание истинно.

б) Если первое число на 5 меньше второго, а второе — на 5 меньше третьего, то первое число на 5 меньше третьего.

Запись на математическом языке: $(a = b - 5 \text{ и } b = c - 5) \Rightarrow a = c - 5$.

Это высказывание ложно. Чтобы доказать это, найдем контрпример. Пусть $c = 15$. Тогда из условия $b = c - 5$ следует, что $b = 15 - 5 = 10$. Из условия $a = b - 5$ следует, что $a = 10 - 5 = 5$. Условие $(a = b - 5 \text{ и } b = c - 5)$ выполнено. Проверим заключение $a = c - 5$. Подставив наши значения, получаем $5 = 15 - 5$, то есть $5 = 10$, что является ложью. На самом деле, если $a = b - 5$ и $b = c - 5$, то $a = (c - 5) - 5 = c - 10$. То есть первое число на 10 меньше третьего, а не на 5.

Построение отрицания: Отрицанием импликации $P \Rightarrow Q$ является высказывание $P \text{ и не } Q$. Отрицание: "Существуют такие числа, что первое число на 5 меньше второго, а второе — на 5 меньше третьего, но при этом первое число не является на 5 меньше третьего".

Обоснование истинности отрицания: Отрицание истинно, что и было показано на приведенном выше контрпримере ($a=5, b=10, c=15$), где условие выполняется, а заключение — нет.

Ответ: Высказывание ложно.

в) Если первое число кратно второму, а второе — кратно третьему, то первое число кратно третьему.

Запись на математическом языке: $(a \text{ кратно } b \text{ и } b \text{ кратно } c) \Rightarrow a \text{ кратно } c$.

Это высказывание является свойством транзитивности для отношения кратности (делимости). Оно истинно. Если $a$ кратно $b$, то существует такое целое число $k$, что $a = k \cdot b$. Если $b$ кратно $c$, то существует такое целое число $m$, что $b = m \cdot c$. Тогда мы можем подставить второе выражение в первое: $a = k \cdot (m \cdot c) = (k \cdot m) \cdot c$. Так как произведение целых чисел $k \cdot m$ также является целым числом, то $a$ кратно $c$. Таким образом, высказывание истинно.

Ответ: Высказывание истинно.

г) Если первое число в 2 раза больше второго, а второе — в 2 раза больше третьего, то первое число в 2 раза больше третьего.

Запись на математическом языке: $(a = 2b \text{ и } b = 2c) \Rightarrow a = 2c$.

Это высказывание ложно. Найдем контрпример. Пусть $c = 3$. Тогда из условия $b = 2c$ следует, что $b = 2 \cdot 3 = 6$. Из условия $a = 2b$ следует, что $a = 2 \cdot 6 = 12$. Условие $(a = 2b \text{ и } b = 2c)$ выполнено. Проверим заключение $a = 2c$. Подставив наши значения, получаем $12 = 2 \cdot 3$, то есть $12 = 6$, что является ложью. На самом деле, если $a = 2b$ и $b = 2c$, то $a = 2 \cdot (2c) = 4c$. То есть первое число в 4 раза больше третьего, а не в 2 раза.

Построение отрицания: "Существуют такие числа, что первое число в 2 раза больше второго, а второе — в 2 раза больше третьего, но при этом первое число не является в 2 раза больше третьего".

Обоснование истинности отрицания: Отрицание истинно, что и было показано на приведенном выше контрпримере ($a=12, b=6, c=3$), где условие выполняется, а заключение — нет.

Ответ: Высказывание ложно.

Что ты замечаешь?

Все высказывания имеют общую логическую структуру "Если (a R b) и (b R c), то (a R c)", где R — некоторое отношение между числами. Эта структура описывает свойство транзитивности отношения R.

Можно заметить, что:

• Высказывания (а) и (в) истинны. Это означает, что отношения "меньше" и "кратно" являются транзитивными.
• Высказывания (б) и (г) ложны. Это означает, что отношения "быть на 5 меньше" и "быть в 2 раза больше" не являются транзитивными. В случае (б) разница суммируется ($a=c-10$), а в случае (г) множитель перемножается ($a=4c$).

Условие 2010-2022.

249 Запиши высказывания на математическом языке с помощью знака $\Rightarrow$.

Найди ложные высказывания, построй отрицания и обоснуй их истинность.

а) Если первое число меньше второго, а второе — меньше третьего, то первое число меньше третьего.

$(a < b \text{ и } b < c) \Rightarrow a < c$

б) Если первое число на 5 меньше второго, а второе — на 5 меньше третьего, то первое число на 5 меньше третьего.

$(a = b - 5 \text{ и } b = c - 5) \Rightarrow a = c - 5$

в) Если первое число кратно второму, а второе — кратно третьему, то первое число кратно третьему.

$(b|a \text{ и } c|b) \Rightarrow c|a$

г) Если первое число в 2 раза больше второго, а второе — в 2 раза больше третьего, то первое число в 2 раза больше третьего.

$(a = 2b \text{ и } b = 2c) \Rightarrow a = 2c$

Что ты замечаешь?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).