Номер 247, страница 55, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Отрицание следования. Параграф 5. Логическое следование. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 247, страница 55.

Условие 2023.

247 Переведи высказывания с математического языка на русский. Найди ложные высказывания и построй их отрицания. Обоснуй свой ответ.

а) $x^2 = y^2 \Rightarrow x = y;$

б) $m^2 = n^2 \Rightarrow m = n (m, n \in N);$

в) $x^2 = y^2 \Rightarrow |x| = |y|;$

г) $|x| = |y| \Rightarrow x = y;$

д) $n > 5 \Rightarrow n \ge 6 (n \in N);$

е) $x > 5 \Rightarrow x \ge 6;$

ж) $m \in N, n \in N \Rightarrow m - n \in N;$

з) $x^2 \in Q \Rightarrow x \in Q.$

Решение 2 (2023).

а) $x^2 = y^2 \Rightarrow x = y$

Перевод на русский язык: "Если квадрат числа $x$ равен квадрату числа $y$, то число $x$ равно числу $y$."
Это высказывание ложно.
Обоснование: Ложность этого утверждения можно показать на контрпримере. Пусть $x = 2$, а $y = -2$. Тогда $x^2 = 2^2 = 4$ и $y^2 = (-2)^2 = 4$. Условие $x^2 = y^2$ выполняется, однако заключение $x = y$ (т.е. $2 = -2$) ложно. Следовательно, все высказывание ложно.
Отрицание строится по правилу отрицания импликации $\neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \land \neg B$. В данном случае отрицание: $x^2 = y^2 \land x \neq y$. На русском языке: "Квадрат числа $x$ равен квадрату числа $y$, и при этом $x$ не равен $y$."

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: Существуют числа $x$ и $y$ такие, что $x^2=y^2$ и $x \ne y$.

б) $m^2 = n^2 \Rightarrow m = n$ ($m, n \in N$)

Перевод на русский язык: "Если квадрат натурального числа $m$ равен квадрату натурального числа $n$, то число $m$ равно числу $n$."
Это высказывание истинно.
Обоснование: Из равенства $m^2 = n^2$ следует $m^2 - n^2 = 0$, или $(m-n)(m+n) = 0$. Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, они по определению положительны ($m > 0, n > 0$), и их сумма $m+n$ также положительна и не равна нулю. Следовательно, равенство $(m-n)(m+n) = 0$ возможно только если первый множитель равен нулю, то есть $m-n = 0$, откуда следует $m=n$.

Ответ: Высказывание истинно.

в) $x^2 = y^2 \Rightarrow |x| = |y|$

Перевод на русский язык: "Если квадрат числа $x$ равен квадрату числа $y$, то модуль числа $x$ равен модулю числа $y$."
Это высказывание истинно.
Обоснование: По определению, модуль числа $a$ есть арифметический квадратный корень из $a^2$, то есть $|a| = \sqrt{a^2}$. Если $x^2 = y^2$, то, извлекая неотрицательный квадратный корень из обеих частей равенства, получаем $\sqrt{x^2} = \sqrt{y^2}$, что равносильно $|x| = |y|$.

Ответ: Высказывание истинно.

г) $|x| = |y| \Rightarrow x = y$

Перевод на русский язык: "Если модуль числа $x$ равен модулю числа $y$, то число $x$ равно числу $y$."
Это высказывание ложно.
Обоснование: Ложность этого утверждения можно показать на контрпримере. Пусть $x = 3$, а $y = -3$. Тогда $|x| = |3| = 3$ и $|y| = |-3| = 3$. Условие $|x| = |y|$ выполняется, но заключение $x=y$ (т.е. $3 = -3$) ложно. Следовательно, все высказывание ложно.
Отрицание: $|x| = |y| \land x \neq y$. На русском языке: "Модуль числа $x$ равен модулю числа $y$, и при этом $x$ не равен $y$."

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: Существуют числа $x$ и $y$ такие, что $|x|=|y|$ и $x \ne y$.

д) $n > 5 \Rightarrow n \ge 6$ ($n \in N$)

Перевод на русский язык: "Если натуральное число $n$ больше 5, то оно не меньше 6 (больше или равно 6)."
Это высказывание истинно.
Обоснование: Множество натуральных чисел является дискретным. Следующее натуральное число после 5 — это 6. Поэтому, если натуральное число $n$ строго больше 5, то оно может быть только 6, 7, 8, и так далее. Каждое из этих чисел удовлетворяет условию $n \ge 6$.

Ответ: Высказывание истинно.

е) $x > 5 \Rightarrow x \ge 6$

Перевод на русский язык: "Если число $x$ больше 5, то оно не меньше 6 (больше или равно 6)."
Это высказывание ложно.
Обоснование: В данном случае, если не указано иное, $x$ считается действительным числом. Между любыми двумя различными действительными числами существует бесконечно много других действительных чисел. Например, можно взять $x = 5.5$. Условие $x > 5$ ($5.5 > 5$) выполняется, но заключение $x \ge 6$ ($5.5 \ge 6$) ложно. Следовательно, все высказывание ложно.
Отрицание: $x > 5 \land x < 6$, что можно записать как $5 < x < 6$. На русском языке: "Число $x$ больше 5 и меньше 6."

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: Существует число $x$ такое, что $5 < x < 6$.

ж) $m \in N, n \in N \Rightarrow m - n \in N$

Перевод на русский язык: "Если $m$ и $n$ — натуральные числа, то их разность $m-n$ также является натуральным числом."
Это высказывание ложно.
Обоснование: Множество натуральных чисел не замкнуто относительно операции вычитания. Ложность утверждения можно показать на контрпримере. Пусть $m = 3$ и $n = 5$. Оба числа являются натуральными. Их разность $m-n = 3 - 5 = -2$, что не является натуральным числом. Также, если $m=n$, разность равна 0, что также не является натуральным числом.
Отрицание: $m \in N \land n \in N \land m - n \notin N$. На русском языке: "Существуют такие натуральные числа $m$ и $n$, что их разность не является натуральным числом."

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: Существуют натуральные числа $m$ и $n$ такие, что их разность $m-n$ не является натуральным числом.

з) $x^2 \in Q \Rightarrow x \in Q$

Перевод на русский язык: "Если квадрат числа $x$ является рациональным числом, то и само число $x$ является рациональным."
Это высказывание ложно.
Обоснование: Ложность утверждения можно показать на контрпримере. Пусть $x = \sqrt{2}$. Тогда $x^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. Число 2 является рациональным ($2 \in Q$), но само число $x = \sqrt{2}$ является иррациональным ($x \notin Q$). Следовательно, высказывание ложно.
Отрицание: $x^2 \in Q \land x \notin Q$. На русском языке: "Существует такое число $x$, квадрат которого рационален, а само число иррационально."

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: Существует число $x$ такое, что его квадрат $x^2$ является рациональным числом, а само число $x$ не является рациональным.

Условие 2010-2022.

247 Переведи высказывания с математического языка на русский. Найди ложные высказывания и построй их отрицания. Обоснуй свой ответ.

а) $x^2 = y^2 \Rightarrow x = y$;

б) $m^2 = n^2 \Rightarrow m = n (m, n \in N)$;

в) $x^2 = y^2 \Rightarrow |x| = |y|$;

г) $|x| = |y| \Rightarrow x = y$;

д) $n > 5 \Rightarrow n \ge 6 (n \in N)$;

е) $x > 5 \Rightarrow x \ge 6$;

ж) $m \in N, n \in N \Rightarrow m - n \in N$;

з) $x^2 \in Q \Rightarrow x \in Q$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).