Номер 315, страница 70, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 5. Логическое следование. 5. Следование и свойства предметов - номер 315, страница 70.

Условие 2023.

315. a) В прямоугольной системе координат построй четырёхугольник $ABCD$, если $A(-6; 2)$, $B(6; 8)$, $C(8; -5)$ и $D(-4; -2)$. Найди координаты точки пересечения его диагоналей.

б) Построй окружность с центром в точке $A(-3; 5)$ и радиусом $5$ единичных отрезков. Найди координаты её точек пересечения с осями координат.

Решение 2 (2023).

а) Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, нужно найти уравнения прямых, на которых лежат диагонали AC и BD, а затем решить систему этих уравнений.

Общее уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

1. Найдем уравнение прямой AC, проходящей через точки A(-6; 2) и C(8; -5).
$\frac{y - 2}{-5 - 2} = \frac{x - (-6)}{8 - (-6)}$
$\frac{y - 2}{-7} = \frac{x + 6}{14}$
Умножим обе части уравнения на 14:
$-2(y - 2) = x + 6$
$-2y + 4 = x + 6$
$x + 2y + 2 = 0$

2. Найдем уравнение прямой BD, проходящей через точки B(6; 8) и D(-4; -2).
$\frac{y - 8}{-2 - 8} = \frac{x - 6}{-4 - 6}$
$\frac{y - 8}{-10} = \frac{x - 6}{-10}$
$y - 8 = x - 6$
$x - y + 2 = 0$

3. Решим систему уравнений для прямых AC и BD, чтобы найти их точку пересечения:
$\begin{cases} x + 2y + 2 = 0 \\ x - y + 2 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y - 2$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(y - 2) + 2y + 2 = 0$
$3y = 0$
$y = 0$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y=0$ в выражение для $x$:
$x = 0 - 2 = -2$
Координаты точки пересечения диагоналей: (-2; 0).

Ответ: (-2; 0).

б) Уравнение окружности с центром в точке $(h; k)$ и радиусом $R$ задается формулой: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$.

По условию, центр окружности находится в точке A(-3; 5), а радиус $R = 5$. Составим уравнение данной окружности:
$(x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = 5^2$
$(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

1. Чтобы найти координаты точек пересечения с осью абсцисс (Ox), нужно подставить $y = 0$ в уравнение окружности:
$(x + 3)^2 + (0 - 5)^2 = 25$
$(x + 3)^2 + 25 = 25$
$(x + 3)^2 = 0$
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Таким образом, окружность имеет одну точку пересечения (касания) с осью Ox: (-3; 0).

2. Чтобы найти координаты точек пересечения с осью ординат (Oy), нужно подставить $x = 0$ в уравнение окружности:
$(0 + 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$
$9 + (y - 5)^2 = 25$
$(y - 5)^2 = 16$
$y - 5 = \pm\sqrt{16}$
$y - 5 = 4$ или $y - 5 = -4$
Из первого уравнения $y_1 = 9$, из второго $y_2 = 1$.
Таким образом, окружность имеет две точки пересечения с осью Oy: (0; 1) и (0; 9).

Ответ: с осью Ox: (-3; 0); с осью Oy: (0; 1) и (0; 9).

Условие 2010-2022.

315 а) В прямоугольной системе координат построй четырехугольник $ABCD$, если $A(-6; 2)$, $B(6; 8)$, $C(8; -5)$ и $D(-4; -2)$. Найди координаты точки пересечения его диагоналей.

б) Построй окружность с центром в точке $A(-3; 5)$ и радиусом $5$ единичных отрезков. Найди координаты ее точек пересечения с осями координат.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).