Номер 34, страница 10, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Коэффициент. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 34, страница 10.

Условие 2023.

34 Опровергни утверждение и построй его отрицание:

а) $ \forall a \in Q: (-a)^2 = -a^2 $; в) $ \exists a \in Q: (-a)^2 \neq a^2 $;

б) $ \forall a \in Q: (-a)^2 \neq -a^2 $; г) $ \exists a \in Q: (-a)^3 \neq -a^3 $.

($Q$ – множество рациональных чисел.)

Решение 2 (2023).

а) $∀ a ∈ Q: (-a)² = -a²$

Данное утверждение является ложным. Оно утверждает, что равенство верно для любого рационального числа $a$. Чтобы опровергнуть его, достаточно найти один контрпример, то есть такое число $a ∈ Q$, для которого равенство не выполняется.
Возьмем любое ненулевое рациональное число, например, $a = 1$.
Вычислим левую часть равенства: $(-a)² = (-1)² = 1$.
Вычислим правую часть равенства: $-a² = -1² = -1$.
Так как $1 ≠ -1$, равенство не выполняется для $a = 1$. Следовательно, исходное утверждение ложно.

Отрицанием для утверждения с квантором всеобщности ($∀$) является утверждение с квантором существования ($∃$), в котором само высказывание заменено на противоположное.
Отрицание для "$(-a)² = -a²$" есть "$(-a)² ≠ -a²$".
Таким образом, отрицание исходного утверждения: $∃ a ∈ Q: (-a)² ≠ -a²$.

Ответ: утверждение ложно, так как, например, для $a=1$ получаем $1 ≠ -1$. Отрицание: $∃ a ∈ Q: (-a)² ≠ -a²$.

---

б) $∀ a ∈ Q: (-a)² ≠ -a²$

Данное утверждение является ложным. Оно утверждает, что неравенство верно для любого рационального числа $a$. Для опровержения нужно найти такое число $a$, для которого это неравенство неверно, то есть выполняется равенство $(-a)² = -a²$.
Преобразуем равенство: $a² = -a²$, что эквивалентно $2a² = 0$, откуда $a = 0$.
Число $0$ является рациональным. Проверим для $a = 0$:
Левая часть: $(-0)² = 0$.
Правая часть: $-0² = 0$.
Так как $0 = 0$, неравенство $(-a)² ≠ -a²$ для $a=0$ не выполняется. Следовательно, исходное утверждение ложно.

Отрицанием для утверждения с квантором всеобщности ($∀$) является утверждение с квантором существования ($∃$), в котором само высказывание заменено на противоположное.
Отрицание для "$(-a)² ≠ -a²$" есть "$(-a)² = -a²$".
Таким образом, отрицание исходного утверждения: $∃ a ∈ Q: (-a)² = -a²$.

Ответ: утверждение ложно, так как для $a=0$ оно не выполняется ($0 = 0$). Отрицание: $∃ a ∈ Q: (-a)² = -a²$.

---

в) $∃ a ∈ Q: (-a)² ≠ a²$

Данное утверждение является ложным. Оно утверждает, что существует такое рациональное число $a$, для которого выполняется неравенство. Чтобы опровергнуть его, нужно показать, что это неравенство не выполняется ни для одного рационального числа, то есть для всех $a ∈ Q$ выполняется равенство $(-a)² = a²$.
Рассмотрим левую часть для любого $a ∈ Q$:
$(-a)² = (-1 · a)² = (-1)² · a² = 1 · a² = a²$.
Таким образом, для любого рационального числа $a$ верно тождество $(-a)² = a²$. Следовательно, не существует такого $a$, для которого $(-a)² ≠ a²$. Исходное утверждение ложно.

Отрицанием для утверждения с квантором существования ($∃$) является утверждение с квантором всеобщности ($∀$), в котором само высказывание заменено на противоположное.
Отрицание для "$(-a)² ≠ a²$" есть "$(-a)² = a²$".
Таким образом, отрицание исходного утверждения: $∀ a ∈ Q: (-a)² = a²$.

Ответ: утверждение ложно, так как для любого $a ∈ Q$ выполняется равенство $(-a)² = a²$. Отрицание: $∀ a ∈ Q: (-a)² = a²$.

---

г) $∃ a ∈ Q: (-a)³ ≠ -a³$

Данное утверждение является ложным. Оно утверждает, что существует такое рациональное число $a$, для которого выполняется неравенство. Чтобы опровергнуть его, нужно показать, что для всех $a ∈ Q$ выполняется равенство $(-a)³ = -a³$.
Рассмотрим левую часть для любого $a ∈ Q$:
$(-a)³ = (-1 · a)³ = (-1)³ · a³ = -1 · a³ = -a³$.
Таким образом, для любого рационального числа $a$ верно тождество $(-a)³ = -a³$. Следовательно, не существует такого $a$, для которого $(-a)³ ≠ -a³$. Исходное утверждение ложно.

Отрицанием для утверждения с квантором существования ($∃$) является утверждение с квантором всеобщности ($∀$), в котором само высказывание заменено на противоположное.
Отрицание для "$(-a)³ ≠ -a³$" есть "$(-a)³ = -a³$".
Таким образом, отрицание исходного утверждения: $∀ a ∈ Q: (-a)³ = -a³$.

Ответ: утверждение ложно, так как для любого $a ∈ Q$ выполняется равенство $(-a)³ = -a³$. Отрицание: $∀ a ∈ Q: (-a)³ = -a³$.

Условие 2010-2022.

34 Опровергни утверждения и построй их отрицания:

а) $ \forall a \in Q: (-a)^2 = -a^2 $;

б) $ \forall a \in Q: (-a)^2 \ne -a^2 $;

в) $ \exists a \in Q: (-a)^2 \ne a^2 $;

г) $ \exists a \in Q: (-a)^3 \ne -a^3 $.

(Q - множество рациональных чисел.)

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).