Номер 35, страница 10, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Коэффициент. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 35, страница 10.

Условие 2023.

Прочитай выражения:

$(a+b)^2$; $a^2 + b^2$; $a^2 + 2ab + b^2$.

Найди значения этих выражений, если:

а) $a = 3, b = 5$; б) $a = -1, b = -4$; в) $a = -2, b = 3$.

Что ты замечаешь?

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений a и b. Попробуй обосновать её, используя графическую модель.

Решение 2 (2023).

Выражения читаются следующим образом:
$(a + b)^2$ — квадрат суммы чисел a и b.
$a^2 + b^2$ — сумма квадратов чисел a и b.
$a^2 + 2ab + b^2$ — сумма квадрата числа a, удвоенного произведения чисел a и b, и квадрата числа b.

Найдем значения этих выражений для заданных значений a и b.

а) если $a = 3, b = 5$:

1) $(a + b)^2 = (3 + 5)^2 = 8^2 = 64$.
2) $a^2 + b^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.
3) $a^2 + 2ab + b^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64$.
Ответ: 64; 34; 64.

б) если $a = -1, b = -4$:

1) $(a + b)^2 = (-1 + (-4))^2 = (-5)^2 = 25$.
2) $a^2 + b^2 = (-1)^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.
3) $a^2 + 2ab + b^2 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot (-4) + (-4)^2 = 1 + 8 + 16 = 25$.
Ответ: 25; 17; 25.

в) если $a = -2, b = 3$:

1) $(a + b)^2 = (-2 + 3)^2 = 1^2 = 1$.
2) $a^2 + b^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
3) $a^2 + 2ab + b^2 = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \cdot 3 + 3^2 = 4 - 12 + 9 = 1$.
Ответ: 1; 13; 1.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что при любых значениях $a$ и $b$ значения выражений $(a + b)^2$ и $a^2 + 2ab + b^2$ равны между собой. Значение выражения $a^2 + b^2$ отличается от них.

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений a и b.
Выдвинем гипотезу: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для любых $a$ и $b$. Проверим её для других значений, например, $a = 10, b = -2$.
1) $(a + b)^2 = (10 + (-2))^2 = 8^2 = 64$.
2) $a^2 + 2ab + b^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot (-2) + (-2)^2 = 100 - 40 + 4 = 64$.
Гипотеза подтверждается.

Попробуй обосновать её, используя графическую модель.
Рассмотрим графическую модель. На рисунке изображен большой квадрат, сторона которого равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $(a + b)$. Площадь этого большого квадрата равна квадрату его стороны: $S_{общ} = (a + b)^2$.
Этот квадрат разделен на четыре части:
1. Розовый квадрат со стороной $a$ и площадью $S_1 = a^2$.
2. Розовый квадрат со стороной $b$ и площадью $S_2 = b^2$.
3. Два белых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна $S_3 = a \cdot b$.
Общая площадь большого квадрата равна сумме площадей его частей: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_3 = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.
Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же квадрата, они равны. Таким образом, графическая модель доказывает тождество: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Условие 2010-2022.

35 Прочитай выражения:

$(a+b)^2$; $a^2 + b^2$; $a^2 + 2ab + b^2$.

Найди значения этих выражений, если:

а) $a = 3, b = 5$;

б) $a = -1, b = -4$;

в) $a = -2, b = 3$.

Что ты замечаешь?

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений $a$ и $b$. Попробуй обосновать ее, используя графическую модель.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).