Номер 349, страница 78, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 1. Что такое геометрия? Рисунки и определения геометрических понятий - номер 349, страница 78.

Условие 2023.

349* Сколько диагоналей можно провести в четырёхугольнике? А в треугольнике, пятиугольнике, шестиугольнике, n-угольнике?

Решение 2 (2023).

Для того чтобы определить количество диагоналей в многоугольнике, необходимо сначала понять, что такое диагональ, а затем вывести общую формулу для её нахождения. Диагональ — это отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника.

Рассмотрим произвольный многоугольник, у которого $n$ вершин (и, соответственно, $n$ сторон). Из каждой вершины можно провести отрезки ко всем остальным $n-1$ вершинам. Однако два из этих отрезков будут являться сторонами многоугольника (те, что соединяют данную вершину с двумя соседними), а не диагоналями. Таким образом, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, то, умножив количество вершин на число диагоналей, выходящих из каждой, мы получим $n(n-3)$. В этом произведении каждая диагональ посчитана дважды (например, диагональ AC и диагональ CA — это один и тот же отрезок). Поэтому, чтобы найти истинное число диагоналей, результат нужно разделить на 2.

Таким образом, общая формула для вычисления количества диагоналей $D$ в $n$-угольнике выглядит следующим образом: $$D = \frac{n(n-3)}{2}$$

Теперь, используя эту формулу, найдём количество диагоналей для каждого из указанных многоугольников.

В четырёхугольнике

Для четырёхугольника число вершин $n=4$. Подставляем это значение в нашу формулу: $D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: 2.

В треугольнике

Для треугольника число вершин $n=3$. Подставляем это значение в формулу: $D = \frac{3(3-3)}{2} = \frac{3 \cdot 0}{2} = 0$. В треугольнике все вершины являются соседними, поэтому диагоналей в нём нет.

Ответ: 0.

В пятиугольнике

Для пятиугольника число вершин $n=5$. Подставляем это значение в формулу: $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Ответ: 5.

В шестиугольнике

Для шестиугольника число вершин $n=6$. Подставляем это значение в формулу: $D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Ответ: 9.

В n-угольнике

Для произвольного $n$-угольника, где $n$ — это количество его вершин, количество диагоналей $D$ определяется по общей формуле, которая была выведена в начале решения: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$.

Условие 2010-2022.

C 349 Сколько диагоналей можно провести в четырехугольнике? А в треугольнике, пятиугольнике, шестиугольнике, n-угольнике?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).