Номер 53, страница 13, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 3. Уравнения. 3. Приведение подобных слагаемых - номер 53, страница 13.

Условие 2023.

53 Прочитай выражения:

$(a-b)^2$; $a^2-b^2$; $a^2-2ab+b^2$.

Найди значения этих выражений, если:

а) $a = 4, b = 1$;

б) $a = -3, b = 2$;

в) $a = -1, b = -5$.

Что ты замечаешь?

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений $a$ и $b$. Объясни полученный вывод, используя графическую модель.

$a-b$

$b$

$(a-b)^2$

$a-b$

$b^2$

$b$

$a$

Решение 2 (2023).

Сначала прочитаем выражения:

• $(a - b)^2$ — квадрат разности чисел a и b.

• $a^2 - b^2$ — разность квадратов чисел a и b.

• $a^2 - 2ab + b^2$ — квадрат разности чисел a и b (в развернутом виде).

Теперь найдем значения этих выражений для заданных значений переменных.

а) если $a = 4, b = 1$:

• $(a - b)^2 = (4 - 1)^2 = 3^2 = 9$.

• $a^2 - b^2 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15$.

• $a^2 - 2ab + b^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 + 1^2 = 16 - 8 + 1 = 9$.

Ответ: 9; 15; 9.

б) если $a = -3, b = 2$:

• $(a - b)^2 = (-3 - 2)^2 = (-5)^2 = 25$.

• $a^2 - b^2 = (-3)^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$.

• $a^2 - 2ab + b^2 = (-3)^2 - 2 \cdot (-3) \cdot 2 + 2^2 = 9 - (-12) + 4 = 9 + 12 + 4 = 25$.

Ответ: 25; 5; 25.

в) если $a = -1, b = -5$:

• $(a - b)^2 = (-1 - (-5))^2 = (-1 + 5)^2 = 4^2 = 16$.

• $a^2 - b^2 = (-1)^2 - (-5)^2 = 1 - 25 = -24$.

• $a^2 - 2ab + b^2 = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) \cdot (-5) + (-5)^2 = 1 - 10 + 25 = 16$.

Ответ: 16; -24; 16.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что во всех трех случаях значения выражений $(a - b)^2$ и $a^2 - 2ab + b^2$ равны между собой. Значение выражения $a^2 - b^2$ всегда отличается от них.

Ответ: Возникает гипотеза, что $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ является тождеством, то есть равенство верно при любых значениях $a$ и $b$.

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений a и b.

Возьмем произвольные значения, например, $a = 5$ и $b = 2$.

• $(a - b)^2 = (5 - 2)^2 = 3^2 = 9$.

• $a^2 - 2ab + b^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 + 2^2 = 25 - 20 + 4 = 9$.

Значения снова совпали. Для сравнения, $a^2 - b^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$, что не равно 9.

Ответ: Гипотеза подтвердилась: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Объясни полученный вывод, используя графическую модель.

Графическая модель помогает понять, почему это равенство верно. Рассмотрим квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $a^2$.

На рисунке этот большой квадрат разделен на четыре части:

1. Розовый квадрат в левом верхнем углу со стороной $(a - b)$. Его площадь равна $(a - b)^2$. Это та величина, которую мы хотим найти.

2. Прямоугольник справа со сторонами $(a - b)$ и $b$.

3. Прямоугольник снизу со сторонами $(a - b)$ и $b$.

4. Розовый квадрат в правом нижнем углу со стороной $b$. Его площадь равна $b^2$.

Площадь искомого розового квадрата $(a - b)^2$ можно найти, если из площади всего большого квадрата $a^2$ вычесть площади двух "полосок" - вертикальной и горизонтальной.

• Площадь вертикальной полосы справа равна $a \cdot b$.

• Площадь горизонтальной полосы снизу равна $a \cdot b$.

Когда мы вычитаем обе полосы из $a^2$, то есть вычисляем $a^2 - ab - ab$, мы дважды вычитаем площадь маленького квадрата со стороной $b$ в правом нижнем углу, так как он принадлежит обеим полосам. Его площадь равна $b^2$.

Чтобы исправить это, нужно один раз добавить площадь этого маленького квадрата обратно.

В результате получаем:

$(a - b)^2 = (\text{Площадь большого квадрата}) - (\text{Площадь верт. полосы}) - (\text{Площадь гор. полосы}) + (\text{Площадь малого квадрата})$

$(a - b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: Геометрическая модель наглядно доказывает, что площадь квадрата со стороной $(a - b)$ равна $a^2 - 2ab + b^2$, что подтверждает тождество.

Условие 2010-2022.

53 Прочитай выражения:

$(a - b)^2$; $a^2 - b^2$; $a^2 - 2ab + b^2$.

Найди значения этих выражений, если:

а) $a = 4, b = 1;$

б) $a = -3, b = 2;$

в) $a = -1, b = -5$.

Что ты замечаешь?

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений $a$ и $b$. Объясни полученный вывод, используя графическую модель.

$a - b$ $b$ $(a - b)^2$ $a - b$ $b^2$ $b$ $a$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).