Номер 54, страница 14, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, часть 3

Авторы: Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 3

Цвет обложки: голубой в клеточку

ISBN: 978-5-09-107332-4

Популярные ГДЗ в 6 классе

3. Приведение подобных слагаемых. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 54, страница 14.

№54 (с. 14)
Условие 2023. №54 (с. 14)
скриншот условия
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 3, страница 14, номер 54, Условие 2023

54 Определи, истинно или ложно высказывание. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a, b \in Q: -(a - b) = b - a;$

б) $\forall a, b \in Q: -(a + b) = -a + b;$

в) $\exists a \in Q: a^2 > (a + 1)^2;$

г) $\exists b \in Q: b^3 < b^2.$

Решение 2 (2023). №54 (с. 14)

а) $ \forall a, b \in \mathbb{Q}: -(a - b) = b - a $

Проверим истинность данного высказывания. Раскроем скобки в левой части равенства, используя распределительный закон: $-(a - b) = -1 \cdot (a - b) = -a - (-b) = -a + b$.

Правая часть равенства равна $b - a$.

Так как сложение в множестве рациональных чисел коммутативно (переместительно), то $-a + b = b - a$.

Следовательно, равенство $-(a - b) = b - a$ верно для любых рациональных чисел $a$ и $b$. Высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

б) $ \forall a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) = -a + b $

Проверим истинность данного высказывания. Раскроем скобки в левой части: $-(a + b) = -a - b$.

Теперь сравним левую и правую части: $-a - b = -a + b$.

Это равенство выполняется только в том случае, если $-b = b$, что эквивалентно $2b = 0$, то есть $b = 0$.

Однако, в утверждении говорится, что равенство должно быть верным для всех рациональных $a$ и $b$, а не только для $b=0$. Следовательно, высказывание ложно. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 2, b = 3$.

Левая часть: $-(2 + 3) = -5$.

Правая часть: $-2 + 3 = 1$.

Поскольку $-5 \neq 1$, равенство не выполняется, и утверждение ложно.

Так как высказывание ложно, построим его отрицание. Отрицанием высказывания с квантором всеобщности ($\forall$) является высказывание с квантором существования ($\exists$) и отрицанием самого утверждения. Отрицанием равенства ($=$) является неравенство ($\neq$).

Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) \neq -a + b $.

Ответ: Ложно. Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) \neq -a + b $.

в) $ \exists a \in \mathbb{Q}: a^2 > (a + 1)^2 $

Проверим, существует ли хотя бы одно рациональное число $a$, для которого это неравенство верно. Решим неравенство:

$ a^2 > (a + 1)^2 $

Раскроем квадрат суммы в правой части:

$ a^2 > a^2 + 2a + 1 $

Вычтем $a^2$ из обеих частей:

$ 0 > 2a + 1 $

Вычтем 1 из обеих частей:

$ -1 > 2a $

Разделим обе части на 2:

$ -1/2 > a $, или $ a < -1/2 $.

Неравенство выполняется для любого рационального числа $a$, которое меньше $-1/2$. Множество таких чисел непусто. Например, можно взять $a = -1$. Проверим подстановкой:

$(-1)^2 > (-1 + 1)^2 \implies 1 > 0^2 \implies 1 > 0$.

Неравенство верное. Так как существует хотя бы одно такое число, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

г) $ \exists b \in \mathbb{Q}: b^3 < b^2 $

Проверим, существует ли хотя бы одно рациональное число $b$, удовлетворяющее этому неравенству. Решим неравенство:

$ b^3 < b^2 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ b^3 - b^2 < 0 $

Вынесем общий множитель $b^2$ за скобки:

$ b^2(b - 1) < 0 $

Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$) для любого рационального $b$.

1. Если $b = 0$, то $0^2(0-1) < 0 \implies 0 < 0$, что ложно.

2. Если $b \neq 0$, то $b^2 > 0$. В этом случае, чтобы произведение $b^2(b-1)$ было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным: $b - 1 < 0$, что означает $b < 1$.

Таким образом, неравенство выполняется для всех рациональных чисел $b$, таких что $b < 1$ и $b \neq 0$. Такие числа существуют. Например, возьмем $b = 1/2$.

Проверка: $(1/2)^3 < (1/2)^2 \implies 1/8 < 1/4$. Это верно, так как $0.125 < 0.25$.

Другой пример, $b=-3$: $(-3)^3 < (-3)^2 \implies -27 < 9$. Это также верно.

Поскольку существуют рациональные числа, удовлетворяющие неравенству, высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

Условие 2010-2022. №54 (с. 14)
скриншот условия
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 3, страница 14, номер 54, Условие 2010-2022

54 Определи, истинно или ложно высказывание. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a, b \in Q: -(a - b) = b - a;$

б) $\forall a, b \in Q: -(a + b) = -a + b;$

В) $\exists a \in Q: a^2 > (a + 1)^2;$

Г) $\exists b \in Q: b^3 < b^2.$

Решение 1 (2010-2022). №54 (с. 14)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 3, страница 14, номер 54, Решение 1 (2010-2022) Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 3, страница 14, номер 54, Решение 1 (2010-2022) (продолжение 2) Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 3, страница 14, номер 54, Решение 1 (2010-2022) (продолжение 3) Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 3, страница 14, номер 54, Решение 1 (2010-2022) (продолжение 4)
Решение 2 (2010-2022). №54 (с. 14)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 3, страница 14, номер 54, Решение 2 (2010-2022)
Решение 3 (2010-2022). №54 (с. 14)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 3, страница 14, номер 54, Решение 3 (2010-2022)

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 54 расположенного на странице 14 для 3-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №54 (с. 14), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Петерсон (Людмила Георгиевна), 3-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.