Номер 54, страница 14, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Авторы: Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 3
Цвет обложки: голубой в клеточку
ISBN: 978-5-09-107332-4
Популярные ГДЗ в 6 классе
3. Приведение подобных слагаемых. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 54, страница 14.
№54 (с. 14)
Условие 2023. №54 (с. 14)
скриншот условия

54 Определи, истинно или ложно высказывание. Для ложных высказываний построй отрицания:
а) $\forall a, b \in Q: -(a - b) = b - a;$
б) $\forall a, b \in Q: -(a + b) = -a + b;$
в) $\exists a \in Q: a^2 > (a + 1)^2;$
г) $\exists b \in Q: b^3 < b^2.$
Решение 2 (2023). №54 (с. 14)
а) $ \forall a, b \in \mathbb{Q}: -(a - b) = b - a $
Проверим истинность данного высказывания. Раскроем скобки в левой части равенства, используя распределительный закон: $-(a - b) = -1 \cdot (a - b) = -a - (-b) = -a + b$.
Правая часть равенства равна $b - a$.
Так как сложение в множестве рациональных чисел коммутативно (переместительно), то $-a + b = b - a$.
Следовательно, равенство $-(a - b) = b - a$ верно для любых рациональных чисел $a$ и $b$. Высказывание истинно.
Ответ: Истинно.
б) $ \forall a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) = -a + b $
Проверим истинность данного высказывания. Раскроем скобки в левой части: $-(a + b) = -a - b$.
Теперь сравним левую и правую части: $-a - b = -a + b$.
Это равенство выполняется только в том случае, если $-b = b$, что эквивалентно $2b = 0$, то есть $b = 0$.
Однако, в утверждении говорится, что равенство должно быть верным для всех рациональных $a$ и $b$, а не только для $b=0$. Следовательно, высказывание ложно. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 2, b = 3$.
Левая часть: $-(2 + 3) = -5$.
Правая часть: $-2 + 3 = 1$.
Поскольку $-5 \neq 1$, равенство не выполняется, и утверждение ложно.
Так как высказывание ложно, построим его отрицание. Отрицанием высказывания с квантором всеобщности ($\forall$) является высказывание с квантором существования ($\exists$) и отрицанием самого утверждения. Отрицанием равенства ($=$) является неравенство ($\neq$).
Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) \neq -a + b $.
Ответ: Ложно. Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) \neq -a + b $.
в) $ \exists a \in \mathbb{Q}: a^2 > (a + 1)^2 $
Проверим, существует ли хотя бы одно рациональное число $a$, для которого это неравенство верно. Решим неравенство:
$ a^2 > (a + 1)^2 $
Раскроем квадрат суммы в правой части:
$ a^2 > a^2 + 2a + 1 $
Вычтем $a^2$ из обеих частей:
$ 0 > 2a + 1 $
Вычтем 1 из обеих частей:
$ -1 > 2a $
Разделим обе части на 2:
$ -1/2 > a $, или $ a < -1/2 $.
Неравенство выполняется для любого рационального числа $a$, которое меньше $-1/2$. Множество таких чисел непусто. Например, можно взять $a = -1$. Проверим подстановкой:
$(-1)^2 > (-1 + 1)^2 \implies 1 > 0^2 \implies 1 > 0$.
Неравенство верное. Так как существует хотя бы одно такое число, исходное высказывание истинно.
Ответ: Истинно.
г) $ \exists b \in \mathbb{Q}: b^3 < b^2 $
Проверим, существует ли хотя бы одно рациональное число $b$, удовлетворяющее этому неравенству. Решим неравенство:
$ b^3 < b^2 $
Перенесем все члены в левую часть:
$ b^3 - b^2 < 0 $
Вынесем общий множитель $b^2$ за скобки:
$ b^2(b - 1) < 0 $
Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$) для любого рационального $b$.
1. Если $b = 0$, то $0^2(0-1) < 0 \implies 0 < 0$, что ложно.
2. Если $b \neq 0$, то $b^2 > 0$. В этом случае, чтобы произведение $b^2(b-1)$ было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным: $b - 1 < 0$, что означает $b < 1$.
Таким образом, неравенство выполняется для всех рациональных чисел $b$, таких что $b < 1$ и $b \neq 0$. Такие числа существуют. Например, возьмем $b = 1/2$.
Проверка: $(1/2)^3 < (1/2)^2 \implies 1/8 < 1/4$. Это верно, так как $0.125 < 0.25$.
Другой пример, $b=-3$: $(-3)^3 < (-3)^2 \implies -27 < 9$. Это также верно.
Поскольку существуют рациональные числа, удовлетворяющие неравенству, высказывание истинно.
Ответ: Истинно.
Условие 2010-2022. №54 (с. 14)
скриншот условия

54 Определи, истинно или ложно высказывание. Для ложных высказываний построй отрицания:
а) $\forall a, b \in Q: -(a - b) = b - a;$
б) $\forall a, b \in Q: -(a + b) = -a + b;$
В) $\exists a \in Q: a^2 > (a + 1)^2;$
Г) $\exists b \in Q: b^3 < b^2.$
Решение 1 (2010-2022). №54 (с. 14)




Решение 2 (2010-2022). №54 (с. 14)

Решение 3 (2010-2022). №54 (с. 14)

Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 54 расположенного на странице 14 для 3-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №54 (с. 14), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Петерсон (Людмила Георгиевна), 3-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.