Номер 54, страница 14, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 3. Уравнения. 3. Приведение подобных слагаемых - номер 54, страница 14.

Условие 2023.

54 Определи, истинно или ложно высказывание. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a, b \in Q: -(a - b) = b - a;$

б) $\forall a, b \in Q: -(a + b) = -a + b;$

в) $\exists a \in Q: a^2 > (a + 1)^2;$

г) $\exists b \in Q: b^3 < b^2.$

Решение 2 (2023).

а) $ \forall a, b \in \mathbb{Q}: -(a - b) = b - a $

Проверим истинность данного высказывания. Раскроем скобки в левой части равенства, используя распределительный закон: $-(a - b) = -1 \cdot (a - b) = -a - (-b) = -a + b$.

Правая часть равенства равна $b - a$.

Так как сложение в множестве рациональных чисел коммутативно (переместительно), то $-a + b = b - a$.

Следовательно, равенство $-(a - b) = b - a$ верно для любых рациональных чисел $a$ и $b$. Высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

б) $ \forall a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) = -a + b $

Проверим истинность данного высказывания. Раскроем скобки в левой части: $-(a + b) = -a - b$.

Теперь сравним левую и правую части: $-a - b = -a + b$.

Это равенство выполняется только в том случае, если $-b = b$, что эквивалентно $2b = 0$, то есть $b = 0$.

Однако, в утверждении говорится, что равенство должно быть верным для всех рациональных $a$ и $b$, а не только для $b=0$. Следовательно, высказывание ложно. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 2, b = 3$.

Левая часть: $-(2 + 3) = -5$.

Правая часть: $-2 + 3 = 1$.

Поскольку $-5 \neq 1$, равенство не выполняется, и утверждение ложно.

Так как высказывание ложно, построим его отрицание. Отрицанием высказывания с квантором всеобщности ($\forall$) является высказывание с квантором существования ($\exists$) и отрицанием самого утверждения. Отрицанием равенства ($=$) является неравенство ($\neq$).

Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) \neq -a + b $.

Ответ: Ложно. Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) \neq -a + b $.

в) $ \exists a \in \mathbb{Q}: a^2 > (a + 1)^2 $

Проверим, существует ли хотя бы одно рациональное число $a$, для которого это неравенство верно. Решим неравенство:

$ a^2 > (a + 1)^2 $

Раскроем квадрат суммы в правой части:

$ a^2 > a^2 + 2a + 1 $

Вычтем $a^2$ из обеих частей:

$ 0 > 2a + 1 $

Вычтем 1 из обеих частей:

$ -1 > 2a $

Разделим обе части на 2:

$ -1/2 > a $, или $ a < -1/2 $.

Неравенство выполняется для любого рационального числа $a$, которое меньше $-1/2$. Множество таких чисел непусто. Например, можно взять $a = -1$. Проверим подстановкой:

$(-1)^2 > (-1 + 1)^2 \implies 1 > 0^2 \implies 1 > 0$.

Неравенство верное. Так как существует хотя бы одно такое число, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

г) $ \exists b \in \mathbb{Q}: b^3 < b^2 $

Проверим, существует ли хотя бы одно рациональное число $b$, удовлетворяющее этому неравенству. Решим неравенство:

$ b^3 < b^2 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ b^3 - b^2 < 0 $

Вынесем общий множитель $b^2$ за скобки:

$ b^2(b - 1) < 0 $

Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$) для любого рационального $b$.

1. Если $b = 0$, то $0^2(0-1) < 0 \implies 0 < 0$, что ложно.

2. Если $b \neq 0$, то $b^2 > 0$. В этом случае, чтобы произведение $b^2(b-1)$ было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным: $b - 1 < 0$, что означает $b < 1$.

Таким образом, неравенство выполняется для всех рациональных чисел $b$, таких что $b < 1$ и $b \neq 0$. Такие числа существуют. Например, возьмем $b = 1/2$.

Проверка: $(1/2)^3 < (1/2)^2 \implies 1/8 < 1/4$. Это верно, так как $0.125 < 0.25$.

Другой пример, $b=-3$: $(-3)^3 < (-3)^2 \implies -27 < 9$. Это также верно.

Поскольку существуют рациональные числа, удовлетворяющие неравенству, высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

Условие 2010-2022.

54 Определи, истинно или ложно высказывание. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a, b \in Q: -(a - b) = b - a;$

б) $\forall a, b \in Q: -(a + b) = -a + b;$

В) $\exists a \in Q: a^2 > (a + 1)^2;$

Г) $\exists b \in Q: b^3 < b^2.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).