Номер 2.101, страница 56, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

8. Наименьшее общее кратное натуральных чисел. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 2.101, страница 56.

2.101. а) Владелец машины меняет каждые 15 тыс. км моторное масло, а каждые 60 тыс. км — приводной ремень. Через сколько тысяч километров совпадут замены масла и приводного ремня?

б) Спутники Ио, Европа, Ганимед и Каллисто планеты Юпитер обращаются вокруг неё за 42, 85, 172 и 400 ч соответственно. За какое наименьшее время они все вместе повторяют своё положение на орбите?

2.101

а)

$$\begin{gathered} 15 = 3 · 5 \\ 60 = 2 · 2 · 3 · 5 \\ \mathrm{НОК} (15; 60) = 2 · 2 · 3 · 5= 60 \end{gathered}$$

Ответ: через 60 тыс. км

б)

$$\begin{gathered} 42 = 2 · 3 · 7 \\ 85 = 5 · 17 \\ 172 = 2 · 2 · 43 \\ 400 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 \\ \mathrm{НОК} (42; 85; 172; 400) =2 · 2 · 2 · 2 \times \\ \times 5 · 5 · 3 · 7 · 17 · 43 = 6 140 400 \end{gathered}$$

Ответ: через 6 140 400 (ч) вместе повторяют свое положение на орбите.

а) Чтобы найти, через какое количество километров совпадут замены масла и приводного ремня, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 60. Это число будет наименьшим пробегом, который делится без остатка и на 15, и на 60, и будет моментом, когда оба события произойдут одновременно.

Замены масла происходят на пробегах, кратных 15 тыс. км: 15, 30, 45, 60, 75, ...
Замены ремня происходят на пробегах, кратных 60 тыс. км: 60, 120, 180, ...

Первое совпадение произойдет на пробеге, который является наименьшим общим кратным для 15 и 60. Разложим числа на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
Для нахождения НОК берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
$НОК(15, 60) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Таким образом, замены масла и приводного ремня совпадут через 60 тысяч километров.
Ответ: через 60 тысяч километров.

б) Чтобы найти наименьшее время, через которое все спутники вместе повторят свое положение на орбите, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их периодов обращения. Периоды обращения равны 42, 85, 172 и 400 часов. Это время будет наименьшим числом, которое делится без остатка на каждый из периодов.

Найдем НОК чисел 42, 85, 172 и 400. Для этого разложим каждое число на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$85 = 5 \cdot 17$
$172 = 2 \cdot 86 = 2^2 \cdot 43$
$400 = 4 \cdot 100 = 2^2 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^4 \cdot 5^2$

Теперь найдем НОК, взяв все уникальные простые множители в их наивысших степенях из всех разложений:
$НОК(42, 85, 172, 400) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 17^1 \cdot 43^1$

Вычислим полученное значение:
$НОК = 16 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 43$
$НОК = (16 \cdot 25) \cdot (3 \cdot 7) \cdot (17 \cdot 43)$
$НОК = 400 \cdot 21 \cdot 731$
$НОК = 8400 \cdot 731$
$НОК = 6 140 400$

Следовательно, все спутники окажутся в исходном положении одновременно через 6 140 400 часов.
Ответ: 6 140 400 часов.